Question

2．去年學(xué)校舉行百年校慶，為迎接各地校友鋪設(shè)了一張紅地毯．幾位同學(xué)在卷地毯的過(guò)程中，注意到了一個(gè)物理問(wèn)題．假設(shè)有一條很長(zhǎng)的地毯，厚度d非常小，已知其寬度x，長(zhǎng)度L和密度p，有一部分已經(jīng)卷成半徑為r的圓柱體．由于厚度很小，已經(jīng)卷起的地毯可以看成是完美的圓柱體．我們希望只通過(guò)踢一下圓柱部分的地毯，使它獲得v的速度，就可以把整個(gè)地毯卷起來(lái)，求所需要的最小初始速度v．

Answer 1

分析 先給半徑為r的圓柱體一初速度，當(dāng)?shù)靥喝�部卷起�?lái)時(shí)，速度為零，開(kāi)始的動(dòng)能轉(zhuǎn)化為卷起時(shí)增加的勢(shì)能，由能量守恒定理求解．

解答 解：如圖：
物體動(dòng)能的減少轉(zhuǎn)化為地毯增加的勢(shì)能，設(shè)初速度為為v，半徑為r的地毯的質(zhì)量：m=pv=pπr²x，開(kāi)始的勢(shì)能為：${E}_{p}=mgh=pπ{r}^{2}xgh$=pπr³xg
當(dāng)?shù)靥喝�部卷起�?lái)時(shí)，質(zhì)量M=pv₁=pπR²x，勢(shì)能為：${E}_{P}=Mgh=pπ{R}^{2}xgh=pπ{R}^{3}gx$，
根據(jù)地毯總體積不變，則由：πr²x+dxl=πR²x，解得：$R=\sqrt{\frac{ld}{π}-{r}^{2}}$
根據(jù)能量守恒定律可得：$\frac{1}{2}m{v}^{2}=MgR-mgr$=pπR³gx-pπr³gx，
聯(lián)立各式解得：v=$\sqrt{2g（\frac{（\sqrt{\frac{Ld}{π}-{r}^{2}}）^{3}}{{r}^{2}}-r）}$
答：所需要的最小初始速度v為$\sqrt{2g（\frac{（\sqrt{\frac{Ld}{π}-{r}^{2}}）^{3}}{{r}^{2}}-r）}$．

點(diǎn)評(píng) 本題是功能關(guān)系的應(yīng)用，自身知識(shí)點(diǎn)應(yīng)用上不難，但對(duì)物體能量變化中質(zhì)量的求解是難點(diǎn)．