1.(石莊中學(xué))設(shè)ABCD是空間四邊形,E,F(xiàn)分別是AB,CD的中點(diǎn),則滿足( )
A 共線 B 共面 C 不共面 D 可作為空間基向量
正確答案:B 錯(cuò)因:學(xué)生把向量看為直線。
2.(石莊中學(xué))在正方體ABCD-ABCD,O是底面ABCD的中心,M、N分別是棱DD、DC的中點(diǎn),則直線OM( )
A 是AC和MN的公垂線 B 垂直于AC但不垂直于MN
C 垂直于MN,但不垂直于AC D 與AC、MN都不垂直
正確答案:A 錯(cuò)因:學(xué)生觀察能力較差,找不出三垂線定理中的射影。
3.(石莊中學(xué))已知平面∥平面,直線L平面,點(diǎn)P直線L,平面、間的距離為8,則在內(nèi)到點(diǎn)P的距離為10,且到L的距離為9的點(diǎn)的軌跡是( )
A 一個(gè)圓 B 四個(gè)點(diǎn) C 兩條直線 D 兩個(gè)點(diǎn)
正確答案:B 錯(cuò)因:學(xué)生對(duì)點(diǎn)線距離、線線距離、面面距離的關(guān)系不能靈活掌握。
4.(石莊中學(xué))正方體ABCD-ABCD中,點(diǎn)P在側(cè)面BCCB及其邊界上運(yùn)動(dòng),并且總保持AP⊥BD,則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡( )
A 線段BC B BB的中點(diǎn)與CC中點(diǎn)連成的線段
C 線段BC D CB中點(diǎn)與BC中點(diǎn)連成的線段
正確答案:A 錯(cuò)因:學(xué)生觀察能力較差,對(duì)三垂線定理逆定理不能靈活應(yīng)用。
5. (石莊中學(xué))下列命題中:
① 若向量、與空間任意向量不能構(gòu)成基底,則∥ 。
② 若∥, ∥,則∥ .
③ 若 、 、是空間一個(gè)基底,且 =+ + ,則A、B、C、D四點(diǎn)共面。
④ 若向量 + , + , + 是空間一個(gè)基底,則 、 、 也是空間的一個(gè)基底。其中正確的命題有( )個(gè)。
A 1 B 2 C 3 D 4
正確答案:C 錯(cuò)因:學(xué)生對(duì)空間向量的基本概念理解不夠深刻。
6.(磨中)給出下列命題:①分別和兩條異面直線AB、CD同時(shí)相交的兩條直線AC、BD一定是異面直線②同時(shí)與兩條異面直線垂直的兩直線不一定平行③斜線b在面α內(nèi)的射影為c,直線a⊥c,則a⊥b④有三個(gè)角為直角的四邊形是矩形,其中真命題是( )
正確答案:①
錯(cuò)誤原因:空間觀念不明確,三垂線定理概念不清
7.(磨中)已知一個(gè)正四面體和一個(gè)正八面體的棱長(zhǎng)相等,把它們拼接起來,使一個(gè)表面重合,所得多面體的面數(shù)有( )
A、7 B、8 C、9 D、10
正確答案:A
錯(cuò)誤原因:4+8-2=10
8.(磨中)下列正方體或正四面體中,P、Q、R、S分別是所在棱的中點(diǎn),這四個(gè)點(diǎn)不共面的一個(gè)圖是( )
正確答案:D
錯(cuò)誤原因:空間觀點(diǎn)不強(qiáng)
9.(磨中)a和b為異面直線,則過a與b垂直的平面( )
A、有且只有一個(gè) B、一個(gè)面或無數(shù)個(gè)
C、可能不存在 D、可能有無數(shù)個(gè)
正確答案:C
錯(cuò)誤原因:過a與b垂直的夾平面條件不清
10.(一中)給出下列四個(gè)命題:
(1)各側(cè)面在都是正方形的棱柱一定是正棱柱.
(2)若一個(gè)簡(jiǎn)單多面體的各頂點(diǎn)都有3條棱,則其頂點(diǎn)數(shù)V、面數(shù)F滿足的關(guān)系式為2F-V=4.
(3)若直線l⊥平面α,l∥平面β,則α⊥β.
(4)命題“異面直線a、b不垂直,則過a的任一平面與b都不垂直”的否定.
其中,正確的命題是 ( )
A.(2)(3) B.(1)(4) C.(1)(2)(3) D.(2)(3)(4)
正確答案:A
11.(一中)如圖,△ABC是簡(jiǎn)易遮陽(yáng)棚,A,B是南北方向上兩個(gè)定點(diǎn),正東方向射出的太陽(yáng)光線與地面成40°角,為了使遮陰影面ABD面積最大,遮陽(yáng)棚ABC與地面所成的角應(yīng)為( )
A.75° B.60° C.50° D.45°
正確答案:C
12.(蒲中)一直線與直二面角的兩個(gè)面所成的角分別為α,β,則α+β滿足( )
A、α+β<900 B、α+β≤900 C、α+β>900 D、α+β≥900
答案:B
點(diǎn)評(píng):易誤選A,錯(cuò)因:忽視直線與二面角棱垂直的情況。
13.(蒲中)在正方體AC1中,過它的任意兩條棱作平面,則能作得與A1B成300角的平面的個(gè)數(shù)為( )
A、2個(gè) B、4個(gè) C、6個(gè) D、8個(gè)
答案:B
點(diǎn)評(píng):易瞎猜,6個(gè)面不合,6個(gè)對(duì)角面中有4個(gè)面適合條件。
14.(蒲中)△ABC的BC邊上的高線為AD,BD=a,CD=b,將△ABC沿AD折成大小為θ的二面角B-AD-C,若,則三棱錐A-BCD的側(cè)面三角形ABC是( )
A、銳角三角形 B、鈍角三角形
C、直角三角形 D、形狀與a、b的值有關(guān)的三角形
答案:C
點(diǎn)評(píng):將平面圖形折成空間圖形后線面位置關(guān)系理不清,易瞎猜。
15.(江安中學(xué))設(shè)a,b,c表示三條直線,表示兩個(gè)平面,則下列命題中逆命題不成立的是( )。
A. ,若,則
B. ,,若,則
C. ,若,則
D. ,是在內(nèi)的射影,若,則
正解:C
C的逆命題是,若,則顯然不成立。
誤解:選B。源于對(duì)C是在內(nèi)的射影理不清。
16.(江安中學(xué))和是兩個(gè)不重合的平面,在下列條件中可判定平面和平行的是( )。
A. 和都垂直于平面
B. 內(nèi)不共線的三點(diǎn)到的距離相等
C. 是平面內(nèi)的直線且
D. 是兩條異面直線且
正解:D
對(duì)于可平行也可相交;對(duì)于B三個(gè)點(diǎn)可在平面同側(cè)或異側(cè);對(duì)于在平面內(nèi)可平行,可相交。
對(duì)于D正確證明如下:過直線分別作平面與平面相交,設(shè)交線分別為與,由已知得,從而,則,同理,。
誤解:B
往往只考慮距離相等,不考慮兩側(cè)。
17.(江安中學(xué))一個(gè)盛滿水的三棱錐容器,不久發(fā)現(xiàn)三條側(cè)棱上各有一個(gè)小洞D、E、F,且知SD:DA=SE:EB=CF:FS=2:1,若仍用這個(gè)容器盛水,則最多可盛原來水的( )
A.
B.
C.
D.
正解:D。
當(dāng)平面EFD處于水平位置時(shí),容器盛水最多
最多可盛原來水得1-
誤解:A、B、C。由過D或E作面ABC得平行面,所截體計(jì)算而得。
18.(江安中學(xué))球的半徑是R,距球心4R處有一光源,光源能照到的地方用平面去截取,則截面的最大面積是( )。
A.
B.
C.
D.
正解:B。
如圖,在中,于
則即
又
以為半徑的圓的面積為
誤解:審題不清,不求截面積,而求球冠面積。
19.(江安中學(xué))
|
|
E.
|
F. 4
G.
|
H. 或
正解:A。過B作BB’∥,在BB’上截取BP’=AP,連結(jié)PP’,過P’作P’Q連結(jié)PQ,PP’由BB’和所確定的平面,PP’
PQ即為所求。在RtPQP’中,PP’=AB=2,P’Q=BP’,=AP=2, PQ=。
誤解:D。認(rèn)為點(diǎn)P可以在點(diǎn)A的兩側(cè)。本題應(yīng)是由圖解題。
20.(丁中)若平面外的直線與平面所成的角為,則的取值范圍是 ( )
(A) (B) (C) (D)
錯(cuò)解:C
錯(cuò)因:直線在平面外應(yīng)包括直線與平面平行的情況,此時(shí)直線與平面所成的角為0
正解:D
21.(薛中)如果a,b是異面直線,P是不在a,b上的任意一點(diǎn),下列四個(gè)結(jié)論:(1)過P一定可作直線L與a , b都相交;(2)過P一定可作直線L與a , b都垂直;(3)過P一定可作平面與a , b都平行;(4)過P一定可作直線L與a , b都平行,其中正確的結(jié)論有( )
A、0個(gè) B、1個(gè) C、2個(gè) D、3個(gè)
答案:B
錯(cuò)解:C 認(rèn)為(1)(3)對(duì)
D 認(rèn)為(1)(2)(3)對(duì)
錯(cuò)因:認(rèn)為(2)錯(cuò)誤的同學(xué),對(duì)空間兩條直線垂直理解不深刻,認(rèn)為作的直線應(yīng)該與a,b 都垂直相交;而認(rèn)為(1)(3)對(duì)的同學(xué),是因?yàn)樵O(shè)能借助于兩個(gè)平行平面襯托從而對(duì)問題的分析欠嚴(yán)密。
22.(薛中)空間四邊形中,互相垂直的邊最多有( )
A、1對(duì) B、2對(duì) C、3對(duì) D、4對(duì)
答案:C
錯(cuò)解:D
錯(cuò)因:誤將空間四邊形理解成四面體,對(duì)“空間四邊形”理解不深刻。
23.(案中)底面是正三角形,且每個(gè)側(cè)面是等腰三角形的三棱錐是
A、一定是正三棱錐 B、一定是正四面體 C、不是斜三棱錐 D、可能是斜三棱錐
正確答案:(D)
錯(cuò)誤原因:此是正三棱錐的性質(zhì),但很多學(xué)生憑感覺認(rèn)為如果側(cè)面是等腰三角形,則側(cè)棱長(zhǎng)相等,所以一定是正三棱錐,事實(shí)上,只須考察一個(gè)正三角形繞其一邊抬起后所構(gòu)成的三棱錐就知道應(yīng)選D
24.(案中)給出下列四個(gè)命題:
(1) 各側(cè)面都是正方形的棱柱一定是正棱柱
(2) 若一個(gè)簡(jiǎn)單多面體的各頂點(diǎn)都有三條棱,則其頂點(diǎn)數(shù)V,面數(shù)F滿足的關(guān)系式為2F-V=4
(3) 若直線L⊥平面α,L∥平面β,則α⊥β
(4) 命題“異面直線a,b不垂直,則過a的任一平面和b都不垂直”的否定,其中,正確的命題是 ( )
A、(2)(3) B、(1)(4) C、(1)(2)(3) D、(2)(3)(4)
正確答案:(A)
錯(cuò)誤原因:易認(rèn)為命題(1)正確
二填空題:
1. (如中)有一棱長(zhǎng)為a的正方體骨架,其內(nèi)放置一氣球,使其充氣且盡可能地大(仍保持為球的形狀),則氣球表面積的最大值為__________.
錯(cuò)解:學(xué)生認(rèn)為球最大時(shí)為正方體的內(nèi)切球,所以球的直徑為a,球的表面積為。這里學(xué)生未能弄清正方體骨架是一個(gè)空架子,球最大時(shí)與正方體的各棱相切,直徑應(yīng)為,所以正確答案為:。
2. (如中)一個(gè)廣告氣球某一時(shí)刻被一束平行光線投射到水平地面上的影子是一個(gè)橢圓,橢圓的離心率為,則該時(shí)刻這平行光線對(duì)于水平平面的入射角為________。
錯(cuò)解:答。錯(cuò)誤原因是概念不清,入射角應(yīng)是光線與法線的夾角,正確答案為:。
3. (如中)已知正三棱柱底面邊長(zhǎng)是10,高是12,過底面一邊AB,作與底面ABC成角的截面面積是___________________。
錯(cuò)解:。學(xué)生用面積射影公式求解:。錯(cuò)誤原因是沒有弄清截面的形狀不是三角形而是等腰梯形。正確答案是:。
4. (如中)過球面上兩已知點(diǎn)可以作的大圓個(gè)數(shù)是_________個(gè)。
錯(cuò)解:1個(gè)。錯(cuò)誤原因是沒有注意球面上兩已知點(diǎn)與球心共線的特殊情況,可作無數(shù)個(gè)。
正確答案是不能確定。
5. (如中)判斷題:若兩個(gè)平面互相垂直,過其中一個(gè)平面內(nèi)一點(diǎn)作它們的交線的垂線,則此直線垂直于另一個(gè)平面。
正確。錯(cuò)誤原因是未能認(rèn)真審題或空間想象力不夠,忽略過該點(diǎn)向平面外作垂線的情況。正確答案是本題不對(duì)。
6. (如中)平面外有兩點(diǎn)A,B,它們與平面的距離分別為a,b,線段AB上有一點(diǎn)P,且AP:PB=m:n,則點(diǎn)P到平面的距離為_________________.
錯(cuò)解為:。錯(cuò)誤原因是只考慮AB在平面同側(cè)的情形,忽略AB在平面兩測(cè)的情況。正確答案是: 。
7. (如中)點(diǎn)AB到平面距離距離分別為12,20,若斜線AB與成的角,則AB的長(zhǎng)等于_____.
錯(cuò)解:16. 錯(cuò)誤原因是只考慮AB在平面同側(cè)的情形,忽略AB在平面兩測(cè)的情況。正確答案是:16或64。
8. (如中)判斷若a,b是兩條異面直線,p為空間任意一點(diǎn),則過P點(diǎn)有且僅有一個(gè)平面與a,b都平行。
錯(cuò)解:認(rèn)為正確。錯(cuò)誤原因是空間想像力不行。忽略P在其中一條線上,或a與P確定平面時(shí)恰好與b平行,此時(shí)就不能過P作平面與a平行。
9.(磨中)與空間四邊形ABCD四個(gè)頂點(diǎn)距離相等的平面共有______個(gè)。
正確答案:7個(gè)
錯(cuò)誤原因:不會(huì)分類討論
10.(磨中)在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD--A1B1C1D1中,若G、E分別為BB1,C1D1的中點(diǎn),點(diǎn)F是正方形ADD1A1的中心,則四邊形BGEF在正方體六個(gè)面上的射影圖形面積的最大值為________。
正確答案:
錯(cuò)誤原因:不會(huì)找射影圖形
11.(磨中)△ABC是簡(jiǎn)易遮陽(yáng)板,A、B是南北方向上兩個(gè)定點(diǎn),正東方向射出的太陽(yáng)光線與地面成40°角,為使遮陰的陰影面ABD面積最大,遮陽(yáng)板ABC與地面所成角應(yīng)為_________。
正確答案:50°
錯(cuò)誤原因:不會(huì)作圖
12.(磨中)平面α與平面β相交成銳角θ,面α內(nèi)一個(gè)圓在面β上的射影是離心率為的橢圓,則角θ等于_______。
正確答案:30°
錯(cuò)誤原因:分析不出哪些線段射影長(zhǎng)不變,哪些線段射影長(zhǎng)改變。
13.(磨中)把半徑為r的四只小球全部放入一個(gè)大球內(nèi),則大球半徑的最小值為__________。
正確答案:()r
錯(cuò)誤原因:錯(cuò)誤認(rèn)為四個(gè)小球球心在同一平面上
14.(一中)AB垂直于所在的平面,,當(dāng)的面積最大時(shí),點(diǎn)A到直線CD的距離為 。正確答案:
15.(蒲中)在平面角為600的二面角內(nèi)有一點(diǎn)P,P到α、β的距離分別為PC=2cm,PD=3cm,則P到棱l的距離為____________
答案:cm
點(diǎn)評(píng):將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題利用正弦定理求解,轉(zhuǎn)化能力較弱。
16.(蒲中)已知三棱錐P-ABC的三條側(cè)棱PA、PB、PC兩兩垂直,D是底面三角形內(nèi)一點(diǎn),且∠DPA=450,∠DPB=600,則∠DPC=__________
答案:600
點(diǎn)評(píng):以PD為對(duì)角線構(gòu)造長(zhǎng)方體,問題轉(zhuǎn)化為對(duì)角線PD與棱PC的夾角,利用cos2450+cos2600+cos2α=1得α=600,構(gòu)造模型問題能力弱。
17.(蒲中)正方體AC1中,過點(diǎn)A作截面,使正方體的12條棱所在直線與截面所成的角都相等,試寫出滿足條件的一個(gè)截面____________
答案:面AD1C
點(diǎn)評(píng):本題答案不唯一,可得12條棱分成三類:平行、相交、異面,考慮正三棱錐D-AD1C,易瞎猜。
18.(江安中學(xué))一個(gè)直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)為2和4,沿斜邊高線折成直三面角,則兩直角邊所夾角的余弦值為_____議程。
正解:。
設(shè)
為二面角的平面角,
誤解:折疊后仍然判斷不了,找不到的長(zhǎng)求不出。
19.(江安中學(xué))某地球儀上北緯,緯線的長(zhǎng)度為,該地球儀的半徑是_____cm,表面積是_____ cm2。
正解:
設(shè)地球儀的半徑為R,緯線的半徑為r 。
由已知,
。
誤解:誤將
20.(江安中學(xué))自半徑為R的球面上一點(diǎn)P引球的兩兩垂直的弦PA、PB、PC,則=_____。
正解:,可將PA,PB,PC看成是球內(nèi)接矩形的三度,則應(yīng)是矩形對(duì)角線的平方,即球直徑的平方。
誤解:沒有考慮到球內(nèi)接矩形,直接運(yùn)算,易造成計(jì)算錯(cuò)誤。
21.(丁中)直二面角α--β的棱上有一點(diǎn)A,在平面α、β內(nèi)各有一條射線AB,AC與成450,AB,則∠BAC= 。
錯(cuò)解:600
錯(cuò)因:畫圖時(shí)只考慮一種情況
正解:600或1200
22.(丁中)直線與平面α成角為300,則m與所成角的取值范圍是
錯(cuò)解:[ 300 , 1200]
錯(cuò)因:忽視兩條直線所成的角范圍是
正解:[ 300 , 900]
23.(丁中)若的中點(diǎn)到平面的距離為,點(diǎn)到平面的距離為,則點(diǎn)到平面的距離為_________。
錯(cuò)解:2
錯(cuò)因:沒有注意到點(diǎn)A、B在平面異側(cè)的情況。
正解:2、14
24.(薛中)已知直線L∩平面=O,A、B∈L,= 4 ,;點(diǎn)A到平面距離為1,則點(diǎn)B到平面的距離為 。
答案:1或3
錯(cuò)解:3
錯(cuò)因:考慮問題不全面,點(diǎn)A,B可能在點(diǎn)O的同側(cè),也可能在O點(diǎn)兩側(cè)。
25.(薛中)異面直線a , b所成的角為,過空間一定點(diǎn)P,作直線L,使L與a ,b 所成的角均為,這樣的直線L有 條。
答案:三條
錯(cuò)解:一條
錯(cuò)因:沒有能借助于平面襯托,思考問題欠嚴(yán)謹(jǐn)。過P作確定一平面,畫相交所成角的平分線m、g,過m, g分別作平面的垂面,則在中易找到所求直線共有3條。
26.(薛中)點(diǎn)P是ABC所在平面外一點(diǎn),且P在ABC三邊距離相等,則P點(diǎn)在平面ABC上的射影是ABC的 心。
答案:內(nèi)心或旁心
錯(cuò)解:內(nèi)心
錯(cuò)因:P在平面ABC內(nèi)的正射影可能在ABC內(nèi)部,也可能在ABC外部。
27.(案中)四面體的一條棱長(zhǎng)為x,其它各棱長(zhǎng)為1,若把四面體的體積V表示成x的函數(shù)f(x),則f(x)的增區(qū)間為 ,減區(qū)間為 。
正確答案:(0,
錯(cuò)誤原因:不能正確寫出目標(biāo)函數(shù),亦或者得到目標(biāo)函數(shù)以后,不能注意x的隱藏范圍。
28.(案中)在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F(xiàn)分別是AB和AD的中點(diǎn),則點(diǎn)A1到平面為EF的距離為
正確答案:
錯(cuò)誤原因:不少學(xué)生能想到用等積法解,但運(yùn)算存在嚴(yán)重問題。
29.(案中)點(diǎn)P在直徑為2的球面上,過P作兩兩垂直的三條弦,若其中一條弦長(zhǎng)是另一條弦長(zhǎng)的2倍,則這三條弦長(zhǎng)之和為最大值是
正確答案:
錯(cuò)誤原因:找不到解題思路
1. (如中)由平面外一點(diǎn)P引平面的三條相等的斜線段,斜足分別為ABC,O為⊿ABC的外心,求證:。
錯(cuò)解:因?yàn)镺為⊿ABC的外心,所以O(shè)A=OB=OC,又因?yàn)镻A=PB=PC,PO公用,所以⊿POA,⊿POB,⊿POC都全等,所以POA=POB=POC=RT,所以。
錯(cuò)解分析:上述解法中POA=POB=POC=RT,是對(duì)的,但它們?yōu)槭裁词侵苯悄??這里缺少必要的證明。
正解:取BC的中點(diǎn)D,連PD,OD,
2. (如中)一個(gè)棱長(zhǎng)為6cm的密封正方體盒子中放一個(gè)半徑為1cm的小球,無論怎樣搖動(dòng)盒子,求小球在盒子不能到達(dá)的空間的體積。
錯(cuò)解:認(rèn)為是正方體的內(nèi)切球。用正方體的體積減去內(nèi)切球的體積。
錯(cuò)誤原因是空間想像力不夠。
正解:在正方體的8個(gè)頂點(diǎn)處的單位立方體空間內(nèi),小球不能到達(dá)的空間為:,除此之外,在以正方體的棱為一條棱的12個(gè)的正四棱柱空間內(nèi),小球不能到達(dá)的空間共為。其他空間小球均能到達(dá)。故小球不能到達(dá)的空間體積為:。
3.(石莊中學(xué))如圖,在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=5,AD=8,AA1=4,M為B1C1上一點(diǎn),且B1M=2,點(diǎn)N在線段A1D上,A1D⊥AN,求: (1) ;
(2) 直線AD與平面ANM所成的角的大?。?/p>
(3) 平面ANM與平面ABCD所成角(銳角)的大小.
解:(1) 以A為原點(diǎn),AB、AD、AA1所在直線 為x軸,y軸,z軸.
則D(0,8,0),A1 (0,0,4),M(5,2,4)
)
∵ ∴
(2) 由(1)知A1D⊥AM,又由已知A1D⊥AN,平面AMN,垂足為N.
因此AD與平面所成的角即是
易知
(3) ∵平面ABCD,A1N平面AMN,
∴分別成為平面ABCD和平面AMN的法向量。
設(shè)平面AMN與平面ABCD所成的角(銳角)為,則
4.(一中)點(diǎn)是邊長(zhǎng)為4的正方形的中心,點(diǎn),分別是,的中點(diǎn).沿對(duì)角線把正方形折成直二面角D-AC-B.
(Ⅰ)求的大?。?/p>
(Ⅱ)求二面角的大?。?/p>
解法一:(Ⅰ)如圖,過點(diǎn)E作EG⊥AC,垂足為G,過點(diǎn)F作FH⊥AC,垂足為H,則,.
因?yàn)槎娼?i>D-AC-B為直二面角,
又在中,,
.
.
(Ⅱ)過點(diǎn)G作GM垂直于FO的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M,連EM.
∵二面角D-AC-B為直二面角,∴平面DAC⊥平面BAC,交線為AC,又∵EG⊥AC,∴EG⊥平面BAC.∵GM⊥OF,由三垂線定理,得EM⊥OF.
∴就是二面角的平面角.
在RtEGM中,,,,
∴.∴.
所以,二面角的大小為.
解法二:(Ⅰ)建立如圖所示的直角坐標(biāo)系O-xyz,
則,.
.
.
(Ⅱ)設(shè)平面OEF的法向量為.
由得
解得.
所以,.
又因?yàn)槠矫?i>AOF的法向量為,
.∴.
所以,二面角的大小為.
5.(蒲中)斜三棱柱ABC-A1B1C1的底面是邊長(zhǎng)為a的正三角形,側(cè)棱長(zhǎng)等于b,一條側(cè)棱AA1與底面相鄰兩邊AB、AC都成450角,求這個(gè)三棱柱的側(cè)面積。
解:過點(diǎn)B作BM⊥AA1于M,連結(jié)CM,在△ABM和△ACM中,∵AB=AC,∠MAB=∠MAC=450,MA為公用邊,∴△ABM≌△ACM,∴∠AMC=∠AMB=900,∴AA1⊥面BHC,即平面BMC為直截面,又BM=CM=ABsin450=a,∴BMC周長(zhǎng)為2xa+a=(1+)a,且棱長(zhǎng)為b,∴S側(cè)=(1+)ab
點(diǎn)評(píng):本題易錯(cuò)點(diǎn)一是不給出任何證明,直接計(jì)算得結(jié)果;二是作直截面的方法不當(dāng),即“過BC作平面與AA1垂直于M”;三是由條件“∠A1AB=∠A1AC∠AA1在底面ABC上的射影是∠BAC的平分線”不給出論證。
6.(江安中學(xué))如圖在三棱柱ABC-中,已知底面ABC是底角等于,底邊AC=的等腰三角形,且,面與面ABC成,與交于點(diǎn)E。
1) 求證:;
2) 求異面直線AC與的距離;
3) 求三棱錐的體積。
正解:①證:取AC中點(diǎn)D,連ED,
//
又是底角等于的等腰,
②解:由①知
在是異面直線AC與的距離,為
③連
誤解:求體積,不考慮用等積法,有時(shí),硬算導(dǎo)致最后錯(cuò)解。
7.(江安中學(xué))如圖,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=3,AA1=4,M為AA1的中點(diǎn),P是BC上一點(diǎn),且由P沿棱柱側(cè)面經(jīng)過棱CC1到M點(diǎn)的最短路線長(zhǎng)為,設(shè)這條最短路線與C1C的交點(diǎn)為N。求
4) 該三棱柱的側(cè)面展開圖的對(duì)角線長(zhǎng);
5) PC和NC的長(zhǎng);
6) 平面NMP和平面ABC所成二面角(銳角)的大小(用反三角函數(shù)表示)
正解:①正三棱柱ABC-A1B1C1的側(cè)面展開圖是一個(gè)長(zhǎng)為9,寬為4的矩形,其對(duì)角線長(zhǎng)為
②如圖1,將側(cè)面BC1旋轉(zhuǎn)使其與側(cè)面AC1在同一平面上,點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)P1的位置,連接MP1,則MP1就是由點(diǎn)P沿棱柱側(cè)面經(jīng)過CC1到點(diǎn)M的最短路線。
設(shè)PC=,則P1C=,
在
③連接PP1(如圖2),則PP1就是NMP與平面ABC的交線,作NH于H,又CC1平面ABC,連結(jié)CH,由三垂線定理得,。
誤解:①不會(huì)找 的線段在哪里。
②不知道利用側(cè)面BCC1 B1展開圖求解。
③不會(huì)找二面角的平面角。
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