1、利用求通項(xiàng).
(北師大版第23頁習(xí)題5)數(shù)列的前項(xiàng)和.(1)試寫出數(shù)列的前5項(xiàng);(2)數(shù)列是等差數(shù)列嗎?(3)你能寫出數(shù)列的通項(xiàng)公式嗎?
變式題1、(2005湖北卷)設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn=2n2,求數(shù)列的通項(xiàng)公式;
解:(1):當(dāng)
故{an}的通項(xiàng)公式為的等差數(shù)列.
變式題2、(2005北京卷)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且a1=1,,n=1,2,3,……,求a2,a3,a4的值及數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.
解:(I)由a1=1,,n=1,2,3,……,得
,,,
由(n≥2),得(n≥2),
又a2=,所以an=(n≥2),
∴ 數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為
變式題3、(2005山東卷)已知數(shù)列的首項(xiàng)前項(xiàng)和為,且,
證明數(shù)列是等比數(shù)列.
解:由已知可得兩式相減得
即從而當(dāng)時所以又所以從而
故總有,又從而即數(shù)列是等比數(shù)列;
2、解方程求通項(xiàng):(北師大版第19頁習(xí)題3)
在等差數(shù)列中,(1)已知;(2)已知;(3)已知.
變式題1、是首項(xiàng),公差的等差數(shù)列,如果,則序號等于
(A)667 (B)668 (C)669 (D)670
分析:本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式,運(yùn)用公式直接求出.
解:,解得,選C
點(diǎn)評:等差等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和的公式是數(shù)列中的基礎(chǔ)知識,必須牢固掌握.而這些公式也可視作方程,利用方程思想解決問題.
3、待定系數(shù)求通項(xiàng):(人教版第38頁習(xí)題4)寫出下列數(shù)列的前5項(xiàng):(1)
變式題1、(2006年福建卷)已知數(shù)列滿足 求數(shù)列的通項(xiàng)公式;
解:
是以為首項(xiàng),2為公比的等比數(shù)列.
即
1、(北師大版第35頁習(xí)題3)一個等比數(shù)列前項(xiàng)的和為48,前2項(xiàng)的和為60,則前3項(xiàng)的和為( )
A.83 B.108 C.75 D.63
變式題1、一個等差數(shù)列前項(xiàng)的和為48,前2項(xiàng)的和為60,則前3項(xiàng)的和為 。
解:若數(shù)列為等差數(shù)列,則等差數(shù)列,可得:48,12,-60成等差數(shù)列,所以=36.
變式題2、(江蘇版第76頁習(xí)題1)等比數(shù)列的各項(xiàng)為正數(shù),且( )
A.12 B.10 C.8 D.2+
解:因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic20/38/383823_1/image077.gif">所以,而
,所以選B.
點(diǎn)評:高考試題的一個重要特點(diǎn)就是考查學(xué)生對問題敏銳的觀察能力和迅速有效的思維能力,靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)知識和性質(zhì)可提高我們的正確解題的速度. 因此,對相關(guān)知識的性質(zhì)要深刻地理解和掌握并能靈活運(yùn)用.
2、(北師大版第21頁習(xí)題4)設(shè)數(shù)列是單調(diào)遞增的等差數(shù)列,前三項(xiàng)的和為12,前三項(xiàng)的積為48,則它的首項(xiàng)是( )
A.1 B.2 C.4 D.8
變式題1、在各項(xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)列中,首項(xiàng),前三項(xiàng)和為21,則( )
(A)33 (B)72(C)84(D)189
分析:本題主要是考查等比數(shù)列的基本概念和性質(zhì),可利用方程思想將等比數(shù)列問題轉(zhuǎn)化為和處理,也可利用等比數(shù)列的定義進(jìn)行求解.
解法一:設(shè)公比為,由題知,得或(舍去),∴,故選C.
解法二:由得,(舍去),
.
1、(北師大版第23頁習(xí)題4)已知是等差數(shù)列,其中,公差。(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式,并作出它的圖像;(2)數(shù)列從哪一項(xiàng)開始小于0?(3)求數(shù)列前項(xiàng)和的最大值,并求出對應(yīng)的值.
變式題1、已知是各項(xiàng)不為零的等差數(shù)列,其中,公差,若,求數(shù)列前項(xiàng)和的最大值.
解:,所以,即數(shù)列前5項(xiàng)和為最大值.
變式題2、在等差數(shù)列中,,,求的最大值.
解法一:由,得:,解得.
.
由二次函數(shù)的性質(zhì),當(dāng)時,有最大值169.
解法二:先求出,,
由,所以當(dāng)時,有最大值169.
解法三:由,得,而
,故=0.故當(dāng)時,有最大值169.
點(diǎn)評:解決等差數(shù)列前項(xiàng)和最值問題的方法通常有:①、利用二次函數(shù)求最值;②、利用通項(xiàng)公式求使得;③利用性質(zhì)求出符號改變項(xiàng).
2、(江蘇版第58頁習(xí)題6)求和:
變式題1、已知數(shù)列和,設(shè),求數(shù)列的前項(xiàng)和.
解:,
兩式相減得
變式題2、(2007全國1文21)設(shè)是等差數(shù)列,是各項(xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)列,且,,(Ⅰ)求,的通項(xiàng)公式;(Ⅱ)求數(shù)列的前n項(xiàng)和.
解:(Ⅰ)設(shè)的公差為,的公比為,則依題意有且
解得,.所以,.
(Ⅱ).,①
,②
②-①得,
.
點(diǎn)評:錯位相減法適用于通項(xiàng)公式形容的數(shù)列,其中{}是等差數(shù)列,是各項(xiàng)不為0的等比數(shù)列.
變式題2.設(shè)等比數(shù)列的公比為q,前n項(xiàng)和為Sn,若Sn+1,Sn,Sn+2成等差數(shù)列,則q的值為
.
分析:本題主要考查等比數(shù)列的求和公式,等差數(shù)列的概念運(yùn)用,可直接求得.
解:,,則有,
,.,若,則。
3、(江蘇版第62頁習(xí)題9)利用等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式證明
變式題、(2005天津卷18)已知.當(dāng)時,求數(shù)列的前n項(xiàng)和.
解:(Ⅰ)當(dāng)時,.這時數(shù)列的前項(xiàng)和
. ?、?/p>
①式兩邊同乘以,得 ②
①式減去②式,得
若,
,
若,
點(diǎn)評:在使用等比數(shù)列的求和公式時,要注意對公比q的討論,即,這是學(xué)生平時容易忽略的問題,應(yīng)引起足夠的重視,另外要求學(xué)生有運(yùn)算化簡的能力.
4、(江蘇版第62頁習(xí)題7)(1)已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為,求前項(xiàng)的和;(2)已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為,求前項(xiàng)的和.
變式題1、已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為=,設(shè),求.
解:==2(-).
=2[(-)+(-)+(-)+……+(-)+(-)]=2(+--).
變式題2、數(shù)列{an}中,a1=8,a4=2,且滿足:an+2-2an+1+an=0(n∈N*),
(Ⅰ)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(Ⅱ)設(shè),是否存在最大的整數(shù)m,使得任意的n均有總成立?若存在,求出m;若不存在,請說明理由.
解:(Ⅰ)∵an+2-2an+1+an=0,∴an+2-an+1=an+1-an(n∈N*),
∴{an}是等差數(shù)列,設(shè)公差為d,
∵a1=8,a4=a1+3d=8+3d=2,∴d=-2,
∴an=8+(n-1).(-2)=10-2n.
(Ⅱ)
假設(shè)存在整數(shù)m滿足總成立,
又
∴數(shù)列{}是單調(diào)遞增的,
∴為的最小值,故,即m<8,又m∈N*,
∴適當(dāng)條件的m的最大值為7.
點(diǎn)評:數(shù)列求和的裂項(xiàng)相消法:適用于通項(xiàng)公式形如的數(shù)列,其中是各項(xiàng)不為0的等差數(shù)列,c為常數(shù).