1．
(人教A版選修1－1，2－1第39頁例2)
如圖，在圓
上任取一點P，過點P作X軸的垂線段PD，D為垂足．當(dāng)點P在圓上運動時，線段PD的中點M的軌跡是什么？
變式1：設(shè)點P是圓上的任一點，定點D的坐標(biāo)為(8，0)．當(dāng)點P在圓上運動時，求線段PD的中點M的軌跡方程．
解：設(shè)點M的坐標(biāo)為
，點P的坐標(biāo)為
，則
，
．即
，
．
因為點P 在圓上，所以
．
即
，
即
，這就是動點M的軌跡方程．
變式2：設(shè)點P是圓上的任一點，定點D的坐標(biāo)為(8，0)，若點M滿足
．當(dāng)點P在圓上運動時，求點M的軌跡方程．
解：設(shè)點M的坐標(biāo)為，點P的坐標(biāo)為，由，得
，
即
，
．
因為點P在圓上，所以
．
即
，
即
，這就是動點M的軌跡方程．
變式3：設(shè)點P是曲線
上的任一點，定點D的坐標(biāo)為
，若點M滿足
．當(dāng)點P在曲線上運動時，求點M的軌跡方程．
解：設(shè)點M的坐標(biāo)為，點P的坐標(biāo)為，由
，得
，
即
，
．
因為點P在圓上，所以
．
即
，這就是動點M的軌跡方程．
2．(人教A版選修1－1，2－1第40頁練習(xí)第3題)
已知經(jīng)過橢圓
的右焦點
作垂直于x軸的直線A B，交橢圓于A，B兩點，
是橢圓的左焦點．
(1)求
的周長；
(2)如果AB不垂直于x軸，的周長有變化嗎？為什么？
變式1(2005年全國卷Ⅲ)：設(shè)橢圓的兩個焦點分別為F1、、F2，過F2作橢圓長軸的垂線交橢圓于點P，若△F1PF2為等腰直角三角形，則橢圓的離心率是
A．
B．
C．
D．
解一：設(shè)橢圓方程為
，依題意，顯然有
，則
，即
，即
，解得
．選D．
解二：∵△F1PF2為等腰直角三角形，∴
.
∵
，∴
，∴
．故選D．
變式2：已知雙曲線
的左，右焦點分別為
，點P在雙曲線的右支上，且
，則此雙曲線的離心率e的最大值為
．
解一：由定義知
，又已知，解得
，
，在
中，由余弦定理，得
，要求
的最大值，即求
的最小值，當(dāng)
時，解得
．即的最大值為
．
解二：設(shè)
，由焦半徑公式得
，∵
，∴
，∴
，∵
，∴
，∴的最大值為．
變式3(2005年全國卷Ⅰ)：已知橢圓的中心為坐標(biāo)原點O，焦點在
軸上，斜率為1且過橢圓右焦點F的直線交橢圓于A、B兩點，
與
共線．
(Ⅰ)求橢圓的離心率；
(Ⅱ)設(shè)M為橢圓上任意一點，且
，證明
為定值．
解：(Ⅰ)設(shè)橢圓方程為
，
則直線AB的方程為
，代入
，化簡得
.
設(shè)A(
)，B
)，則
由
與
共線，得
又
，
即
，所以
，
故離心率
(Ⅱ)證明：由(Ⅰ)知
，所以橢圓可化為
設(shè)
，由已知得
在橢圓上，
即
①
由(Ⅰ)知
又
，代入①得
故
為定值，定值為1.
3．(人教A版選修1－1，2－1第47頁習(xí)題2.1A組第6題)
已知點P是橢圓
上的一點，且以點P及焦點，為頂點的三角形的面積等于1，求點P的坐標(biāo)．
變式1(2004年湖北卷理)：已知橢圓
的左、右焦點分別為F1、F2，點P在橢圓上，若P、F1、F2是一個直角三角形的三個頂點，則點P到x軸的距離為
A．
B．3
C．
D．
解：依題意，可知當(dāng)以F1或F2為三角形的直角頂點時，點P的坐標(biāo)為
，則點P到x軸的距離為，故選D．(可以證明不存在以點P為直角頂點的三角形)
變式2(2006年全國卷Ⅱ)：已知
的頂點B、C在橢圓
上，頂點A是橢圓的一個焦點，且橢圓的另外一個焦點在BC邊上，則的周長是
A．
B．6 C．
D．12
解：由于橢圓的長半軸長
，而根據(jù)橢圓的定義可知的周長為
，故選C．
4．(人教A版選修1－1，2－1第47頁習(xí)題2.1B組第3題)
如圖，矩形ABCD中，
，
，E，F，G，H分別是矩形四條邊的中點，R，S，T是線段OF的四等分點，
，
，
是線段CF的四等分點．請證明直線ER與
、ES與
、ET與
的交點L，M，N在同一個橢圓上．
變式1：直線
與雙曲線
的右支交于不同的兩點A、B.若雙曲線C的右焦點F在以AB為直徑的圓上時，則實數(shù)
．
解：將直線代入雙曲線C的方程
整理，得
……①
依題意，直線L與雙曲線C的右支交于不同兩點，故
解得
．
設(shè)A、B兩點的坐標(biāo)分別為
、
，則由①式得
……②
∵雙曲線C的右焦點F 
在以AB為直徑的圓上，則由FA⊥FB得：
整理，得
……③
把②式及
代入③式化簡，得
解得
，故
．
變式2(2002年廣東卷)：A、B是雙曲線
上的兩點，點N(1，2)是線段AB的中點．
(Ⅰ)求直線AB的方程；
(Ⅱ)如果線段AB的垂直平分線與雙曲線相交于C、D兩點，那么A、B、C、D四點是否共圓？為什么？
解：(Ⅰ)直線AB的方程為
．(求解過程略)
(Ⅱ)聯(lián)立方程組
得
、
．
由CD垂直平分AB，得CD方程為
．
代入雙曲線方程整理，得
．
記
，
以及CD的中點為
，
則有
從而
．
∵
．
∴
．
又
．
即A、B、C、D四點到點M的距離相等．
故A、B、C、D四點共圓．
變式3(2005年湖北卷)：設(shè)A、B是橢圓
上的兩點，點N(1，3)是線段AB的中點，線段AB的垂直平分線與橢圓相交于C、D兩點.
(Ⅰ)確定
的取值范圍，并求直線AB的方程；
(Ⅱ)試判斷是否存在這樣的，使得A、B、C、D四點在同一個圓上？并說明理由.
(Ⅰ)解法1：依題意，可設(shè)直線AB的方程為
整理，得
①
設(shè)
①的兩個不同的根，
②
是線段AB的中點，得
解得
＝－1，代入②得，＞12，即的取值范圍是(12，+
).
于是，直線AB的方程為
解法2：設(shè)
依題意，
(Ⅱ)解法1：
代入橢圓方程，整理得
③
③的兩根，
于是由弦長公式可得
?、?/p>
將直線AB的方程
⑤
同理可得
⑥
假設(shè)在在＞12，使得A、B、C、D四點共圓，則CD必為圓的直徑，點M為圓心.點M到直線AB的距離為
⑦
于是，由④、⑥、⑦式和勾股定理可得
故當(dāng)
時，A、B、C、D四點均在以M為圓心，
為半徑的圓上.
(注：上述解法中最后一步可按如下解法獲得：
A、B、C、D共圓
△ACD為直角三角形，A為直角
⑧
由⑥式知，⑧式左邊＝
由④和⑦知，⑧式右邊＝
∴⑧式成立，即A、B、C、D四點共圓
解法2：由(Ⅱ)解法1及.
代入橢圓方程，整理得
?、邸 ?解得
.
將直線AB的方程
代入橢圓方程，整理得
⑤ 解得
.
不妨設(shè)
∴
計算可得
，∴A在以CD為直徑的圓上.
又點A與B關(guān)于CD對稱，∴A、B、C、D四點共圓.
(注：也可用勾股定理證明AC⊥AD)
5．(人教A版選修1－1，2－1第59頁習(xí)題2.2B組第1題)
求與橢圓
有公共焦點，且離心率
的雙曲線的方程．
變式1(2002年北京卷文)：已知橢圓
和雙曲線
有公共的焦點，那么雙曲線的漸近線方程是
A．
B．
C．
D．
解：依題意，有
，即
，即雙曲線方程為
，故雙曲線的漸近線方程是
，即，選D．
變式2(2004年全國卷Ⅳ理)：已知橢圓的中心在原點，離心率
，且它的一個焦點與拋物線
的焦點重合， 則此橢圓方程為( )
A．
B．
C．
D．
解：∵拋物線的焦點坐標(biāo)為(－1，0)，則橢圓的
，又，則
，進(jìn)而
，所以橢圓方程為，選A．
6．(人教A版選修1－1，2－1第66頁例4)
斜率為1的直線
經(jīng)過拋物線
的焦點，且與拋物線相交于A，B兩點，求線段AB的長．
變式1：如果
，
，…，
是拋物線上的點，它們的橫坐標(biāo)依次為
，
，…，
，F是拋物線的焦點，若
，則
___．
解：根據(jù)拋物線的定義，可知
(
，2，……，8)，
∴
．
變式2(2004年湖南卷理)：設(shè)F是橢圓
的右焦點，且橢圓上至少有21個不同的點
使
，組成公差為d的等差數(shù)列，則d的取值范圍為 ．
解：設(shè)
，則
，于是
，即
，由于
，
，故
，又
，故
．
變式3(2006年重慶卷文)：如圖，對每個正整數(shù)
，
是拋物線
上的點，過焦點
的直線
交拋物線于另一點
．
(Ⅰ)試證：
；
(Ⅱ)取
，并記
為拋物線上分別以
與
為切點的兩條切線的交點．試證：
．
證明：(Ⅰ)對任意固定的
,因為焦點
,所以可設(shè)直線
的方程為
,將它與拋物線方程聯(lián)立，
得
，由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得
．
(Ⅱ)對任意固定的，利用導(dǎo)數(shù)知識易得拋物線在處的切線的斜率
，故在處的切線方程為
， ?、?/p>
類似地，可求得在處的切線方程為
，
②
由②減去①得
，
從而
， 
，
， ③
將③代入①并注意到得交點的坐標(biāo)為
.
由兩點間距離公式,得
=
.從而
.
現(xiàn)在，利用上述已證結(jié)論并由等比數(shù)列求和公式得，
…
…
=
.
7．(人教A版選修2－1第67頁例5)
過拋物線焦點F的直線交拋物線于A，B兩點，通過點A和拋物線頂點的直線交拋物線的準(zhǔn)線于點D，求證：直線DB平行于拋物線的對稱軸．
變式(2001年全國卷)：設(shè)拋物線
(
)的焦點為 F，經(jīng)過點 F的直線交拋物線于A、B兩點．點 C在拋物線的準(zhǔn)線上，且BC∥X軸．證明直線AC經(jīng)過原點O．
證明1：因為拋物線()的焦點為
，所以經(jīng)過點F的直線AB的方程可設(shè)為
，代人拋物線方程得
．
若記
，
，則
是該方程的兩個根，所以
．
因為BC∥X軸，且點C在準(zhǔn)線
上，所以點C的坐標(biāo)為
，
故直線CO的斜率為
即也是直線OA的斜率，所以直線AC經(jīng)過原點O．
證明2：如圖，記X軸與拋物線準(zhǔn)線L的交點為E，
過A作AD⊥L，D是垂足．則
AD∥FE∥BC．
連結(jié)AC，與EF相交于點N，則
根據(jù)拋物線的幾何性質(zhì)，|AF|=|AD|，|BF|=|BC| ，
即點N是EF的中點，與拋物線的頂點O重合，所以直線AC經(jīng)過原點O．
8．(人教A版選修1－1第74頁，2－1第85頁復(fù)習(xí)參考題A組第8題)
斜率為2的直線與雙曲線
交于A，B兩點，且
，求直線的方程．
變式1(2002年上海卷)：已知點
和
，動點C到A、B兩點的距離之差的絕對值為2，點C的軌跡與直線
交于D、E兩點，求線段DE的長．
解：根據(jù)雙曲線的定義，可知C的軌跡方程為．
聯(lián)立
得
．
設(shè)
，
，則
．
所以
．
故線段DE的長為
．
變式2：直線
與橢圓
交于不同兩點A和B，且
(其中O為坐標(biāo)原點)，求k的值．
解：將代入，得
．
由直線與橢圓交于不同的兩點，得
即
．
設(shè)
，則
．
由，得
．
而
．
于是
．解得
．故k的值為
．
變式3：已知拋物線
．過動點M(
，0)且斜率為1的直線與該拋物線交于不同的兩點A、B．若
,求a的取值范圍．
解：直線的方程為
，
將 
，
得 
．
設(shè)直線與拋物線的兩個不同交點的坐標(biāo)為
、
，
則 
又
，
∴
．
∵
，
∴
．
解得
．