例1.如圖,在四棱錐中,,平面,

且,,求點(diǎn)到平面的距離.

解：取的方向分別為的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，

則，，.,

設(shè)平面的法向量為，.所以可令，點(diǎn)到

平面的距離=.

例2.如圖，已知是正方形，平面，，

分別是的中點(diǎn)，求異面直線與之間的距離。

解：以為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，

，，，

，，是異面直線與的公共法向量，則即；即+=0.所以=,所以異面直線與之間的距離．

例3.如圖,在直三棱柱中,底面是等腰直角三角形,.側(cè)棱,分別是與的中點(diǎn),點(diǎn)在平面上的射影是的重心.

求與平面所成角的大小(結(jié)果用反三角函數(shù)值表示);

求點(diǎn)到平面的距離.

　(1)建立如圖坐標(biāo)系,設(shè),則,,,,

　,,則=，

，，則=，,取平面法向量為，則與夾角為與平面所成角的余角.所以cos, 所以與平面所成角為.

(2)由(1)知,設(shè)平面的法向量為,,即,即,所以令法向量.所以點(diǎn)到平面的距離為.

例4.過正方形的頂點(diǎn)A，引，若，

則平面與平面所成的二面角的大?。?/p>

解：以為原點(diǎn)，分別為軸軸,軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖。

則，　， , ,則，.設(shè)平面PCD的法向量為,,即；，即．所以可令；設(shè)平面PAB的法向量為，所以平面PAB與平面PCD所成的二面角的余弦值為．所以平面與平面所成的二面角的平面角為．

既然可以利用兩個(gè)平面的法向量求兩平面的夾角，也可以利用兩個(gè)平面法向量證明兩平面垂直．如下面的例5．可以先求兩平面的法向量，再計(jì)算它們的數(shù)量積．

例5.如圖，正四棱柱中，底面邊長為，側(cè)棱長為4，分別為棱的中點(diǎn).

求證：平面平面　　　　　　　　　　　　　　

解：以為原點(diǎn)，分別

為建立空間直角坐標(biāo)系，則，　，

,,

設(shè)平面EF的法向量為，

則=0；即.所以令=

設(shè)平面的法向量為=,,即4=0; ,即.所以可令．　＝0

平面平面.