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例4.過正方形的頂點A,引,若,
則平面與平面所成的二面角的大?。?/p>
解:以為原點,分別為軸軸,軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖。
則, , , ,則,.設(shè)平面PCD的法向量為,,即;,即.所以可令;設(shè)平面PAB的法向量為,所以平面PAB與平面PCD所成的二面角的余弦值為.所以平面與平面所成的二面角的平面角為.
既然可以利用兩個平面的法向量求兩平面的夾角,也可以利用兩個平面法向量證明兩平面垂直.如下面的例5.可以先求兩平面的法向量,再計算它們的數(shù)量積.
例5.如圖,正四棱柱中,底面邊長為,側(cè)棱長為4,分別為棱的中點.
求證:平面平面
解:以為原點,分別
為建立空間直角坐標(biāo)系,則, ,
,,
設(shè)平面EF的法向量為,
則=0;即.所以令=
設(shè)平面的法向量為=,,即4=0; ,即.所以可令. =0
平面平面.