如右圖所示,a、b是兩異面直線,是 a E
a和b 的法向量,點(diǎn)E∈a,F(xiàn)∈b,則
異面直線 a與b之間的距離是
b F
例1、如下圖,正四棱錐S-ABCD的高SO=2,底邊長(zhǎng),求異面直線BD和SC之間的距離.
分析:建立如圖所示的直角坐標(biāo)系,則
,,
,,.,
.令向量,且,則,,,,.異面直線BD和SC之間的距離為:
.
例2、如下圖,正方體ABCD- A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2,M、N分別為AA1,BB1的中點(diǎn),
求(1)CM與D1N的余弦值;
(2)異面直線CM與D1N的距離。(2004年廣州調(diào)研試題)
分析(2):建立如圖所示右手直角坐標(biāo)系,則C(0,2,0)、D1(0,0,2)、M(2,0,1)、N(2,2,1)
, D1 C1
設(shè)法向量 A1 B1
則 2x-2y+z=0 x=0 M D N C
2x+2y-z=0 z=2y A B
令y=1得,依公式得異面直線CM與D1N的距離是
如右圖所示,已知AB是平面α的
一條斜線,為平面α的法向量,則 C B
A到平面α的距離為 α
例3、已知ABCD是邊長(zhǎng)為4的正方形,E、F分別是AB、AD的中點(diǎn),GC垂直于ABCD所在的平面,且GC=2,求點(diǎn)B到平面EFG的距離。
分析:建立如圖所示右手直角坐標(biāo)系, G
則E(4,-2,0),F(xiàn)(2,-4,0), E D C
G(0,0,2),B(4,0,0), A F B
=(0,-2,0),=(-4,2,2),=(-2,4,2),設(shè)平面EFG的法向量=(x,y,z),則由,得
-4x+2y+2z=0 x=
-2x+4y+2z=0 y=
不妨設(shè)z=3,則=(1,-1,3),所以依公式可得所求距離為
首先必須確定直線與平面平行,然后將直線到平面的距離問題轉(zhuǎn)化成直線上一點(diǎn)到平面的距離問題。
例4、已知邊長(zhǎng)為的正三角形ABC中,E、F分別為BC和AC的中點(diǎn),PA⊥面ABC,且PA=2,設(shè)平面α過PF且與AE平行,求AE與平面α間的距離。
分析:因?yàn)锳E∥平面α,所以將AE與平面α的距離轉(zhuǎn)化成點(diǎn)A到平面α的距離,建立如圖右手直角坐標(biāo)系,
則A(0,0,0),P(0,0,2),
E(,0,0),F(xiàn)(,,0), P
,, A F
,設(shè)法向量=(x,y,z), B E C
則由,得,
x=0
不妨設(shè)防z=1,則=(0,,1),所以依公式可得所求距離為
首先必須確定兩個(gè)平面是否平行,這時(shí)可以在一個(gè)平面上任取一點(diǎn),將兩平面間的距離問題轉(zhuǎn)化成點(diǎn)到平面的距離問題。
例5、 棱長(zhǎng)為的正方體中.求證:平面AB1C∥平面;
(1) 求平面與平面間的距離.
分析(2):建立如圖所示的直角坐標(biāo)系,
則A、D、A1、C1的坐標(biāo)分別是
(1,0,0)、(0,0,0)、(1,0,1)、
(0,1,1),∴,
,,將平面與平面間的距離轉(zhuǎn)化成點(diǎn)A到平面的距離。設(shè)平面的一個(gè)法向量,
則,即,
,平面與平面間的距離
如圖,有兩個(gè)平面α與β,分別作這兩個(gè)平面的法向量與,則平
面α與β所成的角跟法向量與 α
所成的角相等或互補(bǔ),所以首先 β
必須判斷二面角是銳角還是鈍角。
例6、如下圖,在梯形ABCD中,AD∥BC,AB⊥BC,AB=a,AD=3a,sin∠ADC=,且PA⊥平面ABCD,PA=a,求二面角P-CD-A的平面角的余弦值。
分析:依題意,先過C點(diǎn)CE⊥AD,計(jì)算得ED=2a,BC=AE=a,建立如圖右角直角坐標(biāo)系,則P(0,0,a),D(0,3a,0), P
C(a,a,0),, A E D
,, B C
取平面ACD的一個(gè)法向量,設(shè)平面PCD的法向量是、,所以得
所以不妨取得,從而計(jì)算得
易得二面角P-CD-A的平面角是銳角,所以其角的余弦是
如圖,要求直線a與平面α所成的角θ,先求這個(gè)平面α的法向量與直線a的夾角的余弦,易知θ=或者
例7、如下圖,已知正四面體ABCD的邊長(zhǎng)為2,E為AD的中點(diǎn),求EC與平面BCD所成的角。
分析:作AO⊥平面BCD,連結(jié)OD,并且 A
過O作OF∥BC交CD于F,建立如圖所 E
示右手直角坐標(biāo)系,則O(0,0,0), B O D
E(0,,), C F
易取得平面BCD上的一個(gè)法向量,所以,觀察與的方向,易知EC與平面BCD所成的角是
如果有一向量垂直于平面α,則向量叫做平面α的法向量。要證兩個(gè)平面平行,只需證這兩個(gè)平面同時(shí)垂直于它們的法向量。
例8、已知正方體ABCD-A1B1C1D1中,求證:平面A1BD∥平面B1D1C
分析:作如圖所示右手直角坐標(biāo)系, D C
則各點(diǎn)坐標(biāo)是A1(1,0,0), A B
D1(0,0,0),B1(1,1,0), D1 C1
B(1,1,1),D(0,0,1), A1 B1
C(0,1,1) ,則=(0,1,1),
=(-1,-1,0),設(shè)平面A1BD有一法向量=(x,y,z),則
y+z -x +-y =0
x=z y=-z
不妨取z=1,則=(1,-1,1) ,又由=(-1,-1,0), =(0,1,1),易知=, =,所以與都與垂直,所以與平面B1D1C垂直,從而得到平面A1BD∥平面B1D1C
要證兩平面相互垂直,只需找出這兩個(gè)平面的兩個(gè)法向量,證明這兩個(gè)法向量相互垂直。
例9、 如右圖,△ABC是一個(gè)正三角形,EC⊥平面ABC,
BD∥CE,且CE=CA=2BD,M是EA的中點(diǎn)?! ?E
求證:(1)DE=DA; M D
(2)平面BDM⊥平面ECA; C B
(3)平面DEA⊥平面ECA; A
分析(3):建立如圖所示右手直角坐標(biāo)系 ,不妨設(shè)CA=2,則CE=2,BD=1,C(0,0,0),A(,1,0),B(0,2,0),E(0,0,2),D(0,2,1), , , , 分別假設(shè)面CEA與面DEA的法向量是、,所以得
不妨取、,從而計(jì)算得,所以兩個(gè)法向量相互垂直,兩個(gè)平就相互垂直。
事實(shí)證明,法向量在求角、距離以及證明平行垂直中都有非常廣泛的應(yīng)用,它在中學(xué)數(shù)學(xué)中的出現(xiàn),是對(duì)傳統(tǒng)的立體幾何知識(shí)一個(gè)很好的補(bǔ)充及加深。
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