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如果有一向量垂直于平面α,則向量叫做平面α的法向量。要證兩個(gè)平面平行,只需證這兩個(gè)平面同時(shí)垂直于它們的法向量。
例8、已知正方體ABCD-A1B1C1D1中,求證:平面A1BD∥平面B1D1C
分析:作如圖所示右手直角坐標(biāo)系, D C
則各點(diǎn)坐標(biāo)是A1(1,0,0), A B
D1(0,0,0),B1(1,1,0), D1 C1
B(1,1,1),D(0,0,1), A1 B1
C(0,1,1) ,則=(0,1,1),
=(-1,-1,0),設(shè)平面A1BD有一法向量=(x,y,z),則
y+z -x +-y =0
x=z y=-z
不妨取z=1,則=(1,-1,1) ,又由=(-1,-1,0), =(0,1,1),易知=, =,所以與都與垂直,所以與平面B1D1C垂直,從而得到平面A1BD∥平面B1D1C
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