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要證兩平面相互垂直,只需找出這兩個(gè)平面的兩個(gè)法向量,證明這兩個(gè)法向量相互垂直。
例9、 如右圖,△ABC是一個(gè)正三角形,EC⊥平面ABC,
BD∥CE,且CE=CA=2BD,M是EA的中點(diǎn)?! ?E
求證:(1)DE=DA; M D
(2)平面BDM⊥平面ECA; C B
(3)平面DEA⊥平面ECA; A
分析(3):建立如圖所示右手直角坐標(biāo)系 ,不妨設(shè)CA=2,則CE=2,BD=1,C(0,0,0),A(,1,0),B(0,2,0),E(0,0,2),D(0,2,1), , , , 分別假設(shè)面CEA與面DEA的法向量是、,所以得
不妨取、,從而計(jì)算得,所以兩個(gè)法向量相互垂直,兩個(gè)平就相互垂直。
事實(shí)證明,法向量在求角、距離以及證明平行垂直中都有非常廣泛的應(yīng)用,它在中學(xué)數(shù)學(xué)中的出現(xiàn),是對(duì)傳統(tǒng)的立體幾何知識(shí)一個(gè)很好的補(bǔ)充及加深。
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