※直線與平面所成的角,是直線與平面的法向量所成的角(取銳角)的余角。
如圖,已知PA為平面a的一條斜線,為平面a的一個(gè)法向量,過(guò)P作平面a的垂線PO,連結(jié)OA則ÐPAO為斜線PA和平面a所成的角記q,易得
則=
[例1]如圖,在幾何體ABCDE中,△ABC是等腰直角三角形,∠ABC=900,BE和CD都垂直于平面ABC,且BE=AB=2,CD=1,點(diǎn)F是AE的中點(diǎn)。
(1)證明:DF//平面ABC(略)
(2)求AB與平面BDF所成角的大小。
|
,而
則得 所以
又設(shè)AB與平面BDF所成角為,則法線與所成的角為
即,故AB與平面BDF所成的角為
用法向量求解,不用作出AB與平面BDF所成的角,從而避開(kāi)了作圖的難度。
※直線與平面平行是直線與平面的法向量垂直問(wèn)題,只取和直線平行的向量,驗(yàn)證該向量和平面的法向量的內(nèi)積是否為零即可。
[例2]如圖,四棱錐P-ABCD中PA⊥平面ABCD,PB與底面所成的角為450,底面ABCD為直角梯形,∠ABC=∠BAD=900,PA=BC=AD=
(1)求證:平面PAC⊥平面PCD(略)
(2)在棱PD上是否存在一點(diǎn)E,使CE//平面PAB?若存在,請(qǐng)確定E點(diǎn)的位置;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由。
解:分別以AB、AD、AP所在直線為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系(如圖)
則P(0,0,),C(,,0),D(0,2,0)
設(shè)在棱PD上存在點(diǎn)E坐標(biāo)為(0,y,z),
則
|
是平面PAB的法向量,又
由CE//面PAB,
代入得
∴E是PD中點(diǎn),
即存在點(diǎn)E使得CE//面PAB。
※如圖在二面角中和分別為
平面a和b的法向量若二面角,記二面角的大小為q。
(ⅰ)若該二面角為銳二面角,則或(依據(jù)兩平面法向量的方向而定),但總有=,所以此時(shí)。
(ⅱ)若二面角為鈍二面角,
則或
(依據(jù)兩平面法向量的方向而定),
但總有=
所以此時(shí)
[例3]已知三棱錐P-ABCD中PA⊥面ABCD,底面ABCD為菱形,
∠BAD=600,AB=2,PA=4,E為PC的中點(diǎn)。
(1)求證:平面BDE⊥平面ABCD
(2)求B-DE-C的大小
證明:(1)易證(略)
(2)設(shè)AC∩BD=O,連結(jié)OE,
以O(shè)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系(如圖)
由(1)得為平面EBD的法量,.
設(shè)平面CDE的法向量
, 所以B-DE-C為。
※如圖點(diǎn)P為平面外一點(diǎn),點(diǎn)A為平面內(nèi)的任一點(diǎn),平面的法向量為n,過(guò)點(diǎn)P作平面a的垂線PO,記PA和平面a所成的角為q,則點(diǎn)P到平面的距離為
[例4]設(shè)A(2,3,1),B(4,1,2),C(6,3,7),D(-5,-4,8),
求D到平面ABC的距離。
解:設(shè)平面ABC的法向量
即
∴點(diǎn)D到平面ABC的距離為
※設(shè)L1、L2是兩條異面直線,其公垂向量為,又C、D分別是L1、L2上任意一點(diǎn),則
則L1、L2間的距離
[例5]已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為,求異面直線BD與B1C的距離。
解:如圖,建立空間直角坐標(biāo)系,則
設(shè)DB與B1C的公垂向量
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令x=-1,則 又,
所以異面直線BD與B1C的距離為.
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