1 已知集合M={y| y=x+1},N={(x,y)|x 2 +y 2 =1},則MN中元素的個數(shù)是( A )
A 0 B 1 C 2 D 無窮個
2.函數(shù)在區(qū)間[1,2]上的最大值與最小值之和為,最大值與最小值之積為,則a等于( B )
A 2 B C 2或 D
3.已知實數(shù)a、b滿足等式,下列五個關(guān)系式: ① 0<a<b<1;② 0<b<a<1; ③ a=b;④ 1<a<b;⑤ l<b<a 其中不可能成立的關(guān)系式有( B )
A 1個 B 2個 C 3個 D 4個
4.某?,F(xiàn)有高一學(xué)生210人,高二學(xué)生270人,高三學(xué)生300人,學(xué)校學(xué)生會用分層抽樣的方法從這三個年級的學(xué)生中隨機抽取n名學(xué)生進行問卷調(diào)查,如果已知從高一學(xué)生中抽取的人數(shù)為7,那從高三學(xué)生中抽取的人數(shù)應(yīng)為 ( A )
A 10 B 9 C 8 D 7
5. 若條件,條件,則是的( B )txjy
A.必要不充分條件 B.充分不必要條件
C.充要條件 D.既不充分又不必要條件
6. 在等差數(shù)列中,則前n項和的最小值為( C ) txjy
A. B. C. D.
7. 已知x y滿足的取值范圍是 ( B )
A.[-2,1] B.
C.[-1,2] D.
8 函數(shù)在[2,+]上恒為正數(shù),則實數(shù)a的取值范圍是 ( C )
A 0<a<1 B 1<a<2 C 1<a< D 2<a<3
9 連擲兩次骰子分別得到點數(shù)m、n,則向量(m,n)與向量(-1,1)的夾角 的概率是( D )
A B C D
10. 已知圓,點,其中,是圓上的動點,的中垂線交所在直線于,則點的軌跡是 ( B )
A.橢圓 B.雙曲線 C.拋物線 D.直線
11. 直線l過橢圓的中心,交橢圓于A、B兩點,P是橢圓上的一點,若直線PA、PB的斜率分別為,則為( C )
A、 B、 C、 D、不確定
12. 如右圖所示,在正方體ABCD-A1B1C1D1的側(cè)面AB1內(nèi)有一動點P到直線A1B1與直線BC的距離相等,則動點P所在曲線的形狀為( C )
(A) (B) (C) (D)
13.已知 1 。
14 已知函數(shù)在(-∞,+∞)上單調(diào)遞減,則實數(shù)a的取值范圍是______ ___________
15.已知,則= 502
16.購買手機的“全球通”卡,使用時須付“基本月租費”(每月須交的固定月租費)50元,在市區(qū)通話時每分鐘另收話費0 4元;購買“神州行”卡,使用時不收“基本月租費”,但市區(qū)內(nèi)通話時每分鐘另收話費0 6元 若某用戶每月手機費預(yù)算為120元,則在這兩種手機卡中,購買___神州行_______卡較合算
17.三角形ABC的角A、B、C所對的邊分別是a,b,c。已知向量,且。
(1) 求的值;
(2) 若成等比數(shù)列,且,求的值。
解:由 得,
所以。
(2),
成等比數(shù)列,成等比數(shù)列
,又由余弦定理
,
又,所以或。
所以a,b,c分別為4,,6或6,,4。
18.如圖,已知四棱錐P-ABCD的底面是正方形,PA⊥底面ABCD,且PA=AD=2,點M、N分別在側(cè)棱PD、PC上,且PM=MD
(Ⅰ)求證:AM⊥平面PCD;
(Ⅱ)若,求平面AMN與平面PAB的所成銳二面角的大小
解:(Ⅰ)因為四棱錐P-ABCD的底面是正方形,PA⊥底面ABCD,
則CD⊥側(cè)面PAD
又
又……………5分
(Ⅱ)建立如圖所示的空間直角坐標系又PA=AD=2,
則有P(0,0,2),D(0,2,0)
設(shè)則有
同理可得
即得
由
而平面PAB的法微向量可為
故所求平面AMN與PAB所成鉸二面角的大小為
19.甲、乙兩支足球隊激戰(zhàn)90分鐘戰(zhàn)成平局,加時賽30分鐘后仍然為平局,先決定各派5名隊員,每人射一點球決勝負。設(shè)甲、乙兩隊每個隊員的點球命中率均為0.5。
(1) 不考慮乙隊,求甲對僅有3名隊員點球命中,且其中恰有2名隊員連續(xù)命中的概率;
(2) 求甲、乙兩隊各射完5個點球后,再次出現(xiàn)平局的概率。
解:(1)甲隊3名隊員命中,恰有2名隊員連續(xù)命中的情況有種,故所求概率為
(2)再次出現(xiàn)平局包括、6種情況,故其概率為=
20.已知函數(shù)f (x) = (x-a)(x-b)(x-c)
(1) 求證:= (x-a)(x-b)+(x-a)(x-c)+(x-b)(x-c);
(2) 若f (x)是R上的增函數(shù),是否存在點P,使f (x)的圖象關(guān)于點P中心對稱?
如果存在,請求出點P坐標,并給出證明,如果不存在,請說明理由
21.已知等差數(shù)列滿足:該數(shù)列的前三項分別加上1,1,3后順次成為等比數(shù)列 的前三項
(Ⅰ)分別求數(shù)列,的通項公式
(Ⅱ)設(shè)若恒成立,求c的最小值
解:(Ⅰ)設(shè)d、q分別為數(shù)列、數(shù)列的公差與公比,
由題可知,分別加上1,1,3后得2,2,+d,4+2d
是等比數(shù)列的前三項,
由此可得
(Ⅱ)①
當,當,②
①-②,得
在N*是單調(diào)遞增的,
∴滿足條件恒成立的最小整數(shù)值為
22.(本小題滿分14分)已知拋物線的焦點為,過作兩條互相垂直的弦、,設(shè)、的中點分別為
(1) 求證:直線必過定點,并求出定點坐標
(2) 分別以和為直徑作圓,求兩圓相交弦中點的軌跡方程
解:(1)證明:由題可知,設(shè),,直線AB的方程為,則由消去x可得
,
所以,,即,代入方程,解得,所以,點M的坐標為
同理可得:的坐標為
直線的方程為,整理得
顯然,不論為何值,均滿足方程,所以直線恒過定點
(2)過作準線的垂線,垂足分別為 由拋物線的性質(zhì)不難知道:準線為圓與圓的公切線,設(shè)兩圓的相交弦交公切線于點,則由平面幾何的知識(切割線定理)可知:為的中點 所以
,
即
又因為公共弦必與兩圓的連心線垂直,所以公共弦的斜率為
所以,公共弦所在直線的方程為
即
所以公共弦恒過原點
根據(jù)平面幾何的知識知道:公共弦中點就是公共弦與兩圓連心線的交點,所以原點、定點、所求點構(gòu)成以為直角頂點的直角三角形,即在以為直徑的圓上
又對于圓上任意一點(原點除外),必可利用方程求得值,從而以上步步可逆,故所求軌跡方程為