1.熟練掌握三角變換的所有公式,理解每個(gè)公式的意義,應(yīng)用特點(diǎn),常規(guī)使用方法等;熟悉三角變換常用的方法--化弦法,降冪法,角的變換法等;并能應(yīng)用這些方法進(jìn)行三角函數(shù)式的求值、化簡、證明;掌握三角變換公式在三角形中應(yīng)用的特點(diǎn),并能結(jié)合三角形的公式解決一些實(shí)際問題.
2.熟練掌握正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)、余切函數(shù)的性質(zhì),并能用它研究復(fù)合函數(shù)的性質(zhì);熟練掌握正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)、余切函數(shù)圖象的形狀、特點(diǎn),并會用五點(diǎn)畫出函數(shù)的圖象;理解圖象平移變換、伸縮變換的意義,并會用這兩種變換研究函數(shù)圖象的變化.
3.注重三角函數(shù)與代數(shù)、向量、幾何及實(shí)際問題中的應(yīng)用,能利用三角函數(shù)相關(guān)知識解決綜合問題.
例1.扇形的中心角為,半徑為 ,在扇形中作內(nèi)切圓及與圓外切,與相切的圓,問為何值時(shí),圓的面積最大?最大值是多少?
解:設(shè)圓及與圓的半徑分別為,
則,得,
∴,
∵,∴,令,
,當(dāng),即時(shí),
圓的半徑最大,圓的面積最大,最大面積為.
例2、(05天津)已知,求及.
[解析]解法一:由題設(shè)條件,應(yīng)用兩角差的正弦公式得
,即 ①
由題設(shè)條件,應(yīng)用二倍角余弦公式得
故 ②
由①和②式得,
因此,,由兩角和的正切公式
解法二:由題設(shè)條件,應(yīng)用二倍角余弦公式得,
解得 ,即
由可得
由于,且,故a在第二象限于是,
從而
以下同解法一
[點(diǎn)評]1、本題以三角函數(shù)的求值問題考查三角變換能力和運(yùn)算能力,可從已知角和所求角的內(nèi)在聯(lián)系(均含)進(jìn)行轉(zhuǎn)換得到.
2、在求三角函數(shù)值時(shí),必須靈活應(yīng)用公式,注意隱含條件的使用,以防出現(xiàn)多解或漏解的情形.
例3:設(shè)0<θ<,曲線x2sinθ+y2cosθ=1和x2cosθ-y2sinθ=1有4個(gè)不同的交點(diǎn).
(1)求θ的取值范圍;
(2)證明這4個(gè)交點(diǎn)共圓,并求圓半徑的取值范圍.
解:(1)解方程組,得
故兩條已知曲線有四個(gè)不同的交點(diǎn)的充要條件為,(0<θ<)0<θ<.
(2)設(shè)四個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)為(xi,yi)(i=1,2,3,4),
則:xi2+yi2=2cosθ∈(,2)(i=1,2,3,4).
故四個(gè)交點(diǎn)共圓,并且這個(gè)圓的半徑r=cosθ∈().
評注:本題注重考查應(yīng)用解方程組法處理曲線交點(diǎn)問題,這也是曲線與方程的基本方法,同時(shí)本題也突出了對三角不等關(guān)系的考查.
例4:設(shè)關(guān)于x的方程sinx+cosx+a=0在(0, 2π)內(nèi)有相異二解α、β.
(Ⅰ)求α的取值范圍; (Ⅱ)求tan(α+β)的值.
解: (Ⅰ)∵sinx+cosx=2(sinx+cosx)=2 sin(x+),
∴方程化為sin(x+)=-.
∵方程sinx+cosx+a=0在(0, 2π)內(nèi)有相異二解,
∴sin(x+)≠sin= .
又sin(x+)≠±1 (∵當(dāng)?shù)扔?img src="http://thumb.1010pic.com/pic20/38/384116_1/image050.gif">和±1時(shí)僅有一解),
∴|-|<1 . 且-≠. 即|a|<2
且a≠-. ∴ a的取值范圍是(-2, -)∪(-, 2).
(Ⅱ) ∵α、 β是方程的相異解, ∴sinα+cosα+a=0 ①.
sinβ+cosβ+a=0 ②.
①-②得(sinα- sinβ)+( cosα- cosβ)=0.
∴ 2sincos-2sin
sin=0, 又sin≠0, ∴tan=.
∴tan(α+β)==.
[點(diǎn)評]要注意三角函數(shù)實(shí)根個(gè)數(shù)與普通方程的區(qū)別,這里不能忘記(0, 2π)這一條件.
例5 已知函數(shù)的最小正周期為,其圖像過點(diǎn).
(Ⅰ) 求和的值;(Ⅱ) 函數(shù)的圖像可由(x∈R)的圖像經(jīng)過怎樣的變換而得到?
解: (Ⅰ) 函數(shù)的最小正周期為, .
. .
的圖像過點(diǎn), , 即.
, .
(Ⅱ)先把的圖像上所有點(diǎn)向左平移個(gè)單位(縱坐標(biāo)不變),得到函數(shù)的圖像,
再把所得的函數(shù)圖像上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長為原來的2倍(橫坐標(biāo)不變)得到函數(shù)的圖像.
[點(diǎn)評]三角函數(shù)圖像及其變換是當(dāng)前考查熱點(diǎn),其書寫的規(guī)范性是考生必須高度重視的.
例6、(2007年湖南卷文16)
已知函數(shù).求:
(I)函數(shù)的最小正周期;
(II)函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間.
解:
.
(I)函數(shù)的最小正周期是;
(II)當(dāng),即()時(shí),函數(shù)是增函數(shù),故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是().
[點(diǎn)評]本題主要考查三角函數(shù)的基本公式、三角恒等變換、三角函數(shù)的性質(zhì)以及推理和運(yùn)算能力.
例7 、已知:
(1)請說明函數(shù)的圖象可由函數(shù)的圖象經(jīng)過怎樣的變換得到;
(2)設(shè)函數(shù)圖象位于y軸右側(cè)的對稱中心從左到右依次為A1、A2、A3、A4、…、…、,試求A4的坐標(biāo)。
解:(1)
∴
所以函數(shù)的圖象可由函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位得到
(2)∵函數(shù)圖象的對稱中心為,
由得函數(shù)的對稱中心為,
依次取1,2,3,4……可得A1、A2、A3、A4……各點(diǎn),
∴A4的坐標(biāo)為
例8、如圖,某園林單位準(zhǔn)備綠化一塊直徑為BC的半圓形空地,△ABC外的地方種草,△ABC的內(nèi)接正方形PQRS為一水池,其余的地方種花.若BC=a,∠ABC=,設(shè)△ABC的面積為S1,正方形的面積為S2.
(1)用a,表示S1和S2;
(2)當(dāng)a固定,變化時(shí),求取最小值時(shí)的角
解(1)∵
∴
設(shè)正方形邊長為x.
則BQ=
(2)當(dāng)固定,變化時(shí),
令
令 任取,且,
.
,
是減函數(shù).取最小值,此時(shí)
1.三角函數(shù)恒等變形的基本策略。
(1)常值代換:特別是用“1”的代換,如1=cos2x+sin2x=tanx.cotx=tan45°等。
(2)項(xiàng)的分拆與角的配湊。如分拆項(xiàng):sin2x+2cos2x=(sin2x+cos2x)+cos2x=1+cos2x;
配湊角:α=(α+β)-β,β=-等。
(3)升冪與降冪。
(4)化弦(切)法。
(5)引入輔助角。asinθ+bcosθ=sin(θ+),這里輔助角所在象限由a、b的符號確定,角的值由tan=確定。
2.證明三角等式的思路和方法。
(1)思路:利用三角公式進(jìn)行化名,化角,改變運(yùn)算結(jié)構(gòu),使等式兩邊化為同一形式。
(2)證明方法:綜合法、分析法、比較法、代換法、相消法、數(shù)學(xué)歸納法。
3.證明三角不等式的方法:比較法、配方法、反證法、分析法,利用函數(shù)的單調(diào)性,利用正、余弦函數(shù)的有界性,利用單位圓三角函數(shù)線及判別法等。
4.解答三角高考題的策略。
(1)發(fā)現(xiàn)差異:觀察角、函數(shù)運(yùn)算間的差異,即進(jìn)行所謂的“差異分析”。
(2)尋找聯(lián)系:運(yùn)用相關(guān)公式,找出差異之間的內(nèi)在聯(lián)系。
(3)合理轉(zhuǎn)化:選擇恰當(dāng)?shù)墓?,促使差異的轉(zhuǎn)化。
5.高考考點(diǎn)分析
2005-207年各地高考中本部分所占分值在14-20分,主要以選擇題和解答題的形式出現(xiàn)。主要考察內(nèi)容按綜合難度分,我認(rèn)為有以下幾個(gè)層次:
第一層次:通過誘導(dǎo)公式和倍角公式的簡單運(yùn)用,解決有關(guān)三角函數(shù)基本性質(zhì)的問題。如判斷符號、求值、求周期、判斷奇偶性等。
第二層次:三角函數(shù)公式變形中的某些常用技巧的運(yùn)用。如輔助角公式、平方公式逆用、切弦互化等。
第三層次:充分利用三角函數(shù)作為一種特殊函數(shù)的圖象及周期性、奇偶性、單調(diào)性、有界性等特殊性質(zhì),解決較復(fù)雜的函數(shù)問題。如分段函數(shù)值,求復(fù)合函數(shù)值域等。
1.(2007年全國高考題)函數(shù)f (x) = | sin x+cos x |的最小正周期是 ( )
A. B. C.π D.2π
2.若的終邊所在象限是 ( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
3.已知函數(shù),則下列判斷正確的是( )
(A)此函數(shù)的最小正周期為,其圖象的一個(gè)對稱中心是
(B)此函數(shù)的最小正周期為,其圖象的一個(gè)對稱中心是
(C)此函數(shù)的最小正周期為,其圖象的一個(gè)對稱中心是
(D)此函數(shù)的最小正周期為,其圖象的一個(gè)對稱中心是
4.在△OAB中,O為坐標(biāo)原點(diǎn),,則當(dāng)△OAB的面積達(dá)最大值時(shí),( )
A. B. C. D.
5.函數(shù)的部分圖像如圖所示,則函數(shù)表達(dá)式為
( )
(A)
(B)
(C)
(D)
6.設(shè)是某港口水的深度y(米)關(guān)于時(shí)間t(時(shí))的函數(shù),其中.下表是該港口某一天從0時(shí)至24時(shí)記錄的時(shí)間t與水深y的關(guān)系:
t |
0 |
3 |
6 |
9 |
12 |
15 |
18 |
21 |
24 |
y |
12 |
15.1 |
12.1 |
9.1 |
11.9 |
14.9 |
11.9 |
8.9 |
12.1 |
經(jīng)長期觀觀察,函數(shù)的圖象可以近似地看成函數(shù)的圖象.在下面的函數(shù)中,最能近似表示表中數(shù)據(jù)間對應(yīng)關(guān)系的函數(shù)是 ( )
(A) (B)
(C) (D)
7.將函數(shù)的圖象先向左平移,然后將所得圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?img src="http://thumb.1010pic.com/pic20/38/384116_1/image157.gif">倍(縱坐標(biāo)不變),則所得到的圖象對應(yīng)的函數(shù)解析式為( ).
A. B. C. D.
8.已知k<-4,則函數(shù)y=cos2x+k(cosx-1)的最小值是( )
(A) 1 (B) -1 (C) 2k+1 (D) -2k+1
9.使(ω>0)在區(qū)間[0,1]至少出現(xiàn)2次最大值,則ω的最小值為( )
A. B. C.π D.
10. 在△ABC中,sinA=,cosB=,則cosC等于 ( )
A. B. C. 或 D.
11.當(dāng)時(shí),函數(shù)的最小值為 ( )
(A)2 (B) (C)4 (D)
12.在△OAB中,O為坐標(biāo)原點(diǎn),,則當(dāng)△OAB的面積達(dá)最大值時(shí),( )
A. B. C. D.
13.若-,∈(0,π),則tan= 。
14.,則范圍 。
15.下列命題正確的有_________。
①若-<<<,則范圍為(-π,π);
②若在第一象限,則在一、三象限;
③若=,,則m∈(3,9);
④=,=,則在一象限。
16.如圖,一個(gè)半徑為10米的水輪按逆時(shí)針方向每分鐘轉(zhuǎn)4圈.記水輪上的點(diǎn)P到水面的距離為d米(P在水面下則d為負(fù)數(shù)),則d(米)與時(shí)間t(秒)之間滿足關(guān)系式:,且當(dāng)P點(diǎn)從水面上浮現(xiàn)時(shí)開始計(jì)算時(shí)間.有以下四個(gè)結(jié)論:①A=10;②;③;?、?i>k=5. 則其中所有正確結(jié)論的序號是 .
17. 化簡: .
18.已知,,,求的值.
19.設(shè)函數(shù)圖像的一條對稱軸是直線。
(Ⅰ)求;(Ⅱ)求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間;
(Ⅲ)畫出函數(shù)在區(qū)間上的圖像。
20.一條直角走廊寬1.5米,如圖所示.現(xiàn)有一轉(zhuǎn)動靈活的手推車,其平板面的矩形寬為1米,問要想順利推過直角走廊,平板車的長度不能超過多少米?
21. 在 △ABC 中,已知角 A 為銳角,且
.
(Ⅰ)求 的最大值;
(Ⅱ)若 ,,,求 △ABC 的三個(gè)內(nèi)角和 AC 邊的長.
22. 設(shè)函數(shù).
(Ⅰ)求函數(shù)的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間;
(Ⅱ)當(dāng)時(shí),的最大值為2,求的值,并求出的對稱軸方程.
23.設(shè)函數(shù)的圖象過點(diǎn)P(0,1),且 的最大值是2,最小值為-2,其中.
(1)求表達(dá)式;
(2)若射線圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo),由小到大依次為 求的值.
(四)、創(chuàng)新試題
例9、已知奇函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閷?shí)數(shù)集,且f(x)在上是增函數(shù),當(dāng)時(shí),是否存在這樣的實(shí)數(shù)m,使對所有的均成立?若存在,求出所有適合條件的實(shí)數(shù)m;若不存在,說明理由。
解:為奇函數(shù),
又在上是增函數(shù),且是奇函數(shù) 是R上的增函數(shù),
,令
滿足條件的應(yīng)該使不等式對任意均成立。
設(shè),由條件得
或 或 解得,或
即存在,取值范圍是
例10、已知函數(shù)其中為參數(shù),且
(1)當(dāng)時(shí),判斷函數(shù)是否有極值;
(2)要使函數(shù)的極小值大于零,求參數(shù)的取值范圍;
(3)若對(2)中所求的取值范圍內(nèi)的任意參數(shù),函數(shù)在區(qū)間內(nèi)都是增函數(shù),求實(shí)數(shù)的取值范圍。
解:(1)當(dāng)時(shí)則在內(nèi)是增函數(shù),故無極值。
(2)令得
由及(I),只需考慮的情況。
當(dāng)變化時(shí),的符號及的變化情況如下表:
|
|
0 |
|
|
|
|
+ |
0 |
- |
0 |
+ |
|
遞增 |
極大值 |
遞減 |
極小值 |
遞增 |
因此,函數(shù)在處取得極小值且
要使必有可得所以
(3)由(2)知,函數(shù)在區(qū)間與內(nèi)都是增函數(shù)。
由題設(shè),函數(shù)在內(nèi)是增函數(shù),則須滿足不等式組
或
由(II),參數(shù)時(shí),要使不等式關(guān)于參數(shù)恒成立,必有綜上,解得或所以的取值范圍是
專題四 高考數(shù)學(xué)三角函數(shù)復(fù)習(xí)訓(xùn)練 高考試題中的三角函數(shù)題相對比較傳統(tǒng),位置靠前,通常以簡單題形式出現(xiàn)。因此,在復(fù)習(xí)過程中要特別注重三角知識的基礎(chǔ)性,突出三角函數(shù)的圖象及其變換、周期性、單調(diào)性、奇偶性、對稱性等性質(zhì),以及化簡、求值和最值等重點(diǎn)內(nèi)容的復(fù)習(xí),要求考生熟練記憶和應(yīng)用三角公式及其恒等變形,同時(shí)要注重三角知識的工具性.近年來,三角函數(shù)與向量聯(lián)系問題有所增加,三角知識在幾何及實(shí)際問題中的應(yīng)用也是考查重點(diǎn),應(yīng)給于充分的重視。參考答案
參考答案:
一.選擇題:
1.C. 2.D. 3.B 4.D. 5.A 6.A. 7.D. 8.A 9. A 10.A 11。D 12.D
9. [解析]:要使(ω>0)在區(qū)間[0,1]至少出現(xiàn)2次最大值
只需要最小正周期1,故
10.[解析]:∵ cosB=,∴B是鈍角,∴C就是銳角,即cosC>0,故選A
二.填空題:
13.或
[解析]: ∵->1,且∈(0,π)∴∈(,π)
∴ (- ∴2sincos=
∴+
∴sin= cos=或sin= cos=
tan=或
14.
[解析]: ∵=
∴=
∴
又=
∴=
∴
故
15.②④
[解析]:∵若-<<<,則范圍為(-π,0)∴①錯
∵若=,,則m∈(3,9)
又由得m=0或 m=8
∴m=8
故③錯
16.①②④.
三、解答題:
17.解: 原式
===1
18.解:由題設(shè)知為第一象限角
由題設(shè)知為第三象限角
19.(Ⅰ)解:.
因此,函數(shù)的最小正周期為.
(Ⅱ)解法一:因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic20/38/384116_1/image310.gif">在區(qū)間上為增函數(shù),在區(qū)間上為減函數(shù),又,,,
故函數(shù)在區(qū)間上的最大值為,最小值為.
解法二:作函數(shù)在長度為一個(gè)周期的區(qū)間上的圖象如下:
由圖象得函數(shù)在區(qū)間上的最大值為,最小值為.
20.本小題主要考查三角函數(shù)性質(zhì)及圖像的基本知識,考查推理和運(yùn)算能力,滿分12分.
解:(Ⅰ)的圖像的對稱軸,
(Ⅱ)由(Ⅰ)知
由題意得
所以函數(shù)
(Ⅲ)由
x |
0 |
|
|
|
|
|
y |
|
-1 |
0 |
1 |
0 |
|
|
20 . 解:如圖,延長AB交直角走廊于A1、B1,設(shè)∠CDE1=,則∠B1A1E1=,∈(0,).
∵ CD=AB=A1B1-AA1-BB1,
而 A1B1=1.5(+),AA1=cot,BB1=tan,
∴ CD=1.5(+)―cot―tan
=.
令sin+cos=t,則t∈(1,].
令 f(t)== ,
顯然,函數(shù)f(t)在(1,]上是減函數(shù),所以當(dāng)t=,即=時(shí),
CDmin=f(t)min=3-2.
故平板車的長度不能超過3-2米.
19.解:(Ⅰ)
.
∵ 角 A 為銳角,∴ ,.
∴ 當(dāng) 時(shí), 取得最大值,其最大值為.
(Ⅱ)由得 ,∴.
∴ ,.又 ∵,∴ .∴ .
在 △ABC 中,由正弦定理得:.∴ .
21.解:(1)
則的最小正周期,
且當(dāng)時(shí)單調(diào)遞增.
即為的單調(diào)遞增區(qū)間(寫成開區(qū)間不扣分).
(2)當(dāng)時(shí),當(dāng),即時(shí).
所以.
為的對稱軸.
22. (1)
(2)由題意,知
即
的等差數(shù)列
23.已知函數(shù)的圖象上以N(1,n)為切點(diǎn)的切線傾斜角為.
(1)求m,n的值;
(2)是否存在最小的正整數(shù)k,使得不等式恒成立?若存在,求出最小的正整數(shù)k,否則請說明理由.
(3)求出的取值范圍.
22.(1)
從而由
……………………4分
(2)
令…………………………5分
在[-1,3]中,當(dāng)為增函數(shù),
當(dāng)為減函數(shù)
時(shí)取得極大值
當(dāng)為增函數(shù)時(shí)f(3) 為的極大值………………8分
比較………………9分
……………………10分
(3)
=
=
=
…………………………14分
五、復(fù)習(xí)的建議
立足課本,抓好基礎(chǔ)。注意三角函數(shù)作為函數(shù)的特征的運(yùn)用。如在解決周期性、奇偶性、最值等問題時(shí)有關(guān)數(shù)學(xué)思想的運(yùn)用。
1, 加強(qiáng)對三角函數(shù)圖象的研究。使學(xué)生熟練地求解有關(guān)圖象的特征、圖象的對稱性、變換、解析式、五點(diǎn)作圖等問題。
2, 熟練掌握三角變換的基本公式,弄清公式的推導(dǎo)關(guān)系和互相聯(lián)系,把基本公式記準(zhǔn)用熟。在三角變換中經(jīng)常出現(xiàn)公式的逆用或變形,尤其是二倍角余弦公式、兩角和差的正切的變形應(yīng)用較為廣泛。另外,輔助角公式應(yīng)用也較多,也是考生常出錯的地方,應(yīng)引起注意。
3, 提高學(xué)生解決常見綜合題的能力,提高運(yùn)用所學(xué)知識分析、提取解題信息的能力。
4, 提高學(xué)生的運(yùn)算和表達(dá)的能力,以及確定運(yùn)算方向和實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化的能力。
6,三角形中的三角函數(shù)問題,要注意正弦定理、余弦定理是實(shí)現(xiàn)“邊角互換”的關(guān)鍵,而三角變換是解決問題的重要手段。解三角形涉及的變換較多,綜合性強(qiáng),對考生的應(yīng)變能力和計(jì)算能力要求較高,一定要注意控制難度。