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例1.扇形的中心角為,半徑為 ,在扇形中作內(nèi)切圓及與圓外切,與相切的圓,問(wèn)為何值時(shí),圓的面積最大?最大值是多少?
解:設(shè)圓及與圓的半徑分別為,
則,得,
∴,
∵,∴,令,
,當(dāng),即時(shí),
圓的半徑最大,圓的面積最大,最大面積為.
例2、(05天津)已知,求及.
[解析]解法一:由題設(shè)條件,應(yīng)用兩角差的正弦公式得
,即 ①
由題設(shè)條件,應(yīng)用二倍角余弦公式得
故 ②
由①和②式得,
因此,,由兩角和的正切公式
解法二:由題設(shè)條件,應(yīng)用二倍角余弦公式得,
解得 ,即
由可得
由于,且,故a在第二象限于是,
從而
以下同解法一
[點(diǎn)評(píng)]1、本題以三角函數(shù)的求值問(wèn)題考查三角變換能力和運(yùn)算能力,可從已知角和所求角的內(nèi)在聯(lián)系(均含)進(jìn)行轉(zhuǎn)換得到.
2、在求三角函數(shù)值時(shí),必須靈活應(yīng)用公式,注意隱含條件的使用,以防出現(xiàn)多解或漏解的情形.
例3:設(shè)0<θ<,曲線x2sinθ+y2cosθ=1和x2cosθ-y2sinθ=1有4個(gè)不同的交點(diǎn).
(1)求θ的取值范圍;
(2)證明這4個(gè)交點(diǎn)共圓,并求圓半徑的取值范圍.
解:(1)解方程組,得
故兩條已知曲線有四個(gè)不同的交點(diǎn)的充要條件為,(0<θ<)0<θ<.
(2)設(shè)四個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)為(xi,yi)(i=1,2,3,4),
則:xi2+yi2=2cosθ∈(,2)(i=1,2,3,4).
故四個(gè)交點(diǎn)共圓,并且這個(gè)圓的半徑r=cosθ∈().
評(píng)注:本題注重考查應(yīng)用解方程組法處理曲線交點(diǎn)問(wèn)題,這也是曲線與方程的基本方法,同時(shí)本題也突出了對(duì)三角不等關(guān)系的考查.
例4:設(shè)關(guān)于x的方程sinx+cosx+a=0在(0, 2π)內(nèi)有相異二解α、β.
(Ⅰ)求α的取值范圍; (Ⅱ)求tan(α+β)的值.
解: (Ⅰ)∵sinx+cosx=2(sinx+cosx)=2 sin(x+),
∴方程化為sin(x+)=-.
∵方程sinx+cosx+a=0在(0, 2π)內(nèi)有相異二解,
∴sin(x+)≠sin= .
又sin(x+)≠±1 (∵當(dāng)?shù)扔?img src="http://thumb.1010pic.com/pic20/38/384116_1/image050.gif">和±1時(shí)僅有一解),
∴|-|<1 . 且-≠. 即|a|<2
且a≠-. ∴ a的取值范圍是(-2, -)∪(-, 2).
(Ⅱ) ∵α、 β是方程的相異解, ∴sinα+cosα+a=0 ①.
sinβ+cosβ+a=0 ②.
①-②得(sinα- sinβ)+( cosα- cosβ)=0.
∴ 2sincos-2sin
sin=0, 又sin≠0, ∴tan=.
∴tan(α+β)==.
[點(diǎn)評(píng)]要注意三角函數(shù)實(shí)根個(gè)數(shù)與普通方程的區(qū)別,這里不能忘記(0, 2π)這一條件.
例5 已知函數(shù)的最小正周期為,其圖像過(guò)點(diǎn).
(Ⅰ) 求和的值;(Ⅱ) 函數(shù)的圖像可由(x∈R)的圖像經(jīng)過(guò)怎樣的變換而得到?
解: (Ⅰ) 函數(shù)的最小正周期為, .
. .
的圖像過(guò)點(diǎn), , 即.
, .
(Ⅱ)先把的圖像上所有點(diǎn)向左平移個(gè)單位(縱坐標(biāo)不變),得到函數(shù)的圖像,
再把所得的函數(shù)圖像上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的2倍(橫坐標(biāo)不變)得到函數(shù)的圖像.
[點(diǎn)評(píng)]三角函數(shù)圖像及其變換是當(dāng)前考查熱點(diǎn),其書(shū)寫(xiě)的規(guī)范性是考生必須高度重視的.
例6、(2007年湖南卷文16)
已知函數(shù).求:
(I)函數(shù)的最小正周期;
(II)函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間.
解:
.
(I)函數(shù)的最小正周期是;
(II)當(dāng),即()時(shí),函數(shù)是增函數(shù),故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是().
[點(diǎn)評(píng)]本題主要考查三角函數(shù)的基本公式、三角恒等變換、三角函數(shù)的性質(zhì)以及推理和運(yùn)算能力.
例7 、已知:
(1)請(qǐng)說(shuō)明函數(shù)的圖象可由函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)怎樣的變換得到;
(2)設(shè)函數(shù)圖象位于y軸右側(cè)的對(duì)稱中心從左到右依次為A1、A2、A3、A4、…、…、,試求A4的坐標(biāo)。
解:(1)
∴
所以函數(shù)的圖象可由函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位得到
(2)∵函數(shù)圖象的對(duì)稱中心為,
由得函數(shù)的對(duì)稱中心為,
依次取1,2,3,4……可得A1、A2、A3、A4……各點(diǎn),
∴A4的坐標(biāo)為
例8、如圖,某園林單位準(zhǔn)備綠化一塊直徑為BC的半圓形空地,△ABC外的地方種草,△ABC的內(nèi)接正方形PQRS為一水池,其余的地方種花.若BC=a,∠ABC=,設(shè)△ABC的面積為S1,正方形的面積為S2.
(1)用a,表示S1和S2;
(2)當(dāng)a固定,變化時(shí),求取最小值時(shí)的角
解(1)∵
∴
設(shè)正方形邊長(zhǎng)為x.
則BQ=
(2)當(dāng)固定,變化時(shí),
令
令 任取,且,
.
,
是減函數(shù).取最小值,此時(shí)
參考答案:
一.選擇題:
1.C. 2.D. 3.B 4.D. 5.A 6.A. 7.D. 8.A 9. A 10.A 11。D 12.D
9. [解析]:要使(ω>0)在區(qū)間[0,1]至少出現(xiàn)2次最大值
只需要最小正周期1,故
10.[解析]:∵ cosB=,∴B是鈍角,∴C就是銳角,即cosC>0,故選A
二.填空題:
13.或
[解析]: ∵->1,且∈(0,π)∴∈(,π)
∴ (- ∴2sincos=
∴+
∴sin= cos=或sin= cos=
tan=或
14.
[解析]: ∵=
∴=
∴
又=
∴=
∴
故
15.②④
[解析]:∵若-<<<,則范圍為(-π,0)∴①錯(cuò)
∵若=,,則m∈(3,9)
又由得m=0或 m=8
∴m=8
故③錯(cuò)
16.①②④.
三、解答題:
17.解: 原式
===1
18.解:由題設(shè)知為第一象限角
由題設(shè)知為第三象限角
19.(Ⅰ)解:.
因此,函數(shù)的最小正周期為.
(Ⅱ)解法一:因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic20/38/384116_1/image310.gif">在區(qū)間上為增函數(shù),在區(qū)間上為減函數(shù),又,,,
故函數(shù)在區(qū)間上的最大值為,最小值為.
解法二:作函數(shù)在長(zhǎng)度為一個(gè)周期的區(qū)間上的圖象如下:
由圖象得函數(shù)在區(qū)間上的最大值為,最小值為.
20.本小題主要考查三角函數(shù)性質(zhì)及圖像的基本知識(shí),考查推理和運(yùn)算能力,滿分12分.
解:(Ⅰ)的圖像的對(duì)稱軸,
(Ⅱ)由(Ⅰ)知
由題意得
所以函數(shù)
(Ⅲ)由
x |
0 |
|
|
|
|
|
y |
|
-1 |
0 |
1 |
0 |
|
|
20 . 解:如圖,延長(zhǎng)AB交直角走廊于A1、B1,設(shè)∠CDE1=,則∠B1A1E1=,∈(0,).
∵ CD=AB=A1B1-AA1-BB1,
而 A1B1=1.5(+),AA1=cot,BB1=tan,
∴ CD=1.5(+)―cot―tan
=.
令sin+cos=t,則t∈(1,].
令 f(t)== ,
顯然,函數(shù)f(t)在(1,]上是減函數(shù),所以當(dāng)t=,即=時(shí),
CDmin=f(t)min=3-2.
故平板車(chē)的長(zhǎng)度不能超過(guò)3-2米.
19.解:(Ⅰ)
.
∵ 角 A 為銳角,∴ ,.
∴ 當(dāng) 時(shí), 取得最大值,其最大值為.
(Ⅱ)由得 ,∴.
∴ ,.又 ∵,∴ .∴ .
在 △ABC 中,由正弦定理得:.∴ .
21.解:(1)
則的最小正周期,
且當(dāng)時(shí)單調(diào)遞增.
即為的單調(diào)遞增區(qū)間(寫(xiě)成開(kāi)區(qū)間不扣分).
(2)當(dāng)時(shí),當(dāng),即時(shí).
所以.
為的對(duì)稱軸.
22. (1)
(2)由題意,知
即
的等差數(shù)列
23.已知函數(shù)的圖象上以N(1,n)為切點(diǎn)的切線傾斜角為.
(1)求m,n的值;
(2)是否存在最小的正整數(shù)k,使得不等式恒成立?若存在,求出最小的正整數(shù)k,否則請(qǐng)說(shuō)明理由.
(3)求出的取值范圍.
22.(1)
從而由
……………………4分
(2)
令…………………………5分
在[-1,3]中,當(dāng)為增函數(shù),
當(dāng)為減函數(shù)
時(shí)取得極大值
當(dāng)為增函數(shù)時(shí)f(3) 為的極大值………………8分
比較………………9分
……………………10分
(3)
=
=
=
…………………………14分
五、復(fù)習(xí)的建議
立足課本,抓好基礎(chǔ)。注意三角函數(shù)作為函數(shù)的特征的運(yùn)用。如在解決周期性、奇偶性、最值等問(wèn)題時(shí)有關(guān)數(shù)學(xué)思想的運(yùn)用。
1, 加強(qiáng)對(duì)三角函數(shù)圖象的研究。使學(xué)生熟練地求解有關(guān)圖象的特征、圖象的對(duì)稱性、變換、解析式、五點(diǎn)作圖等問(wèn)題。
2, 熟練掌握三角變換的基本公式,弄清公式的推導(dǎo)關(guān)系和互相聯(lián)系,把基本公式記準(zhǔn)用熟。在三角變換中經(jīng)常出現(xiàn)公式的逆用或變形,尤其是二倍角余弦公式、兩角和差的正切的變形應(yīng)用較為廣泛。另外,輔助角公式應(yīng)用也較多,也是考生常出錯(cuò)的地方,應(yīng)引起注意。
3, 提高學(xué)生解決常見(jiàn)綜合題的能力,提高運(yùn)用所學(xué)知識(shí)分析、提取解題信息的能力。
4, 提高學(xué)生的運(yùn)算和表達(dá)的能力,以及確定運(yùn)算方向和實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化的能力。
6,三角形中的三角函數(shù)問(wèn)題,要注意正弦定理、余弦定理是實(shí)現(xiàn)“邊角互換”的關(guān)鍵,而三角變換是解決問(wèn)題的重要手段。解三角形涉及的變換較多,綜合性強(qiáng),對(duì)考生的應(yīng)變能力和計(jì)算能力要求較高,一定要注意控制難度。
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