例1.作出下列函數(shù)的圖象(1)y=|x-2|(x+1);
解:(1)當(dāng)x≥2時,即x-2≥0時,
當(dāng)x<2時,即x-2<0時,
這是分段函數(shù),每段函數(shù)圖象可根據(jù)二次函數(shù)圖象作出(見圖6)
例2.
解析:
,
例3.(福建卷)已知是二次函數(shù),不等式的解集是且在區(qū)間上的最大值是12。 (I)求的解析式; (II)是否存在實數(shù)使得方程在區(qū)間內(nèi)有且只有兩個不等的實數(shù)根?若存在,求出的取值范圍;若不存在,說明理由。
解:(I)是二次函數(shù),且的解集是
可設(shè)在區(qū)間上的最大值是
由已知,得
(II)方程等價于方程
設(shè)則
當(dāng)時,是減函數(shù);當(dāng)時,是增函數(shù)?!?
方程在區(qū)間內(nèi)分別有惟一實數(shù)根,而在區(qū)間內(nèi)沒有實數(shù)根,所以存在惟一的自然數(shù)使得方程在區(qū)間內(nèi)有且只有兩個不同的實數(shù)根。
例4:已知二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c和一次函數(shù)g(x)=-bx,其中a、b、c滿足a>b>c,a+b+c=0,(a,b,c∈R)(1)求證兩函數(shù)的圖象交于不同的兩點A、B; (2)求線段AB在x軸上的射影A1B1的長的取值范圍
解: (1)證明由消去y得ax2+2bx+c=0
Δ=4b2-4ac=4(-a-c)2-4ac=4(a2+ac+c2)=4[(a+c2]
∵a+b+c=0,a>b>c,∴a>0,c<0
∴c2>0,∴Δ>0,即兩函數(shù)的圖象交于不同的兩點
(2)解設(shè)方程ax2+bx+c=0的兩根為x1和x2,則x1+x2=-,x1x2=
|A1B1|2=(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2
∵a>b>c,a+b+c=0,a>0,c<0,∴a>-a-c>c,解得∈(-2,-)
∵的對稱軸方程是
∈(-2,-)時,為減函數(shù)
∴|A1B1|2∈(3,12),故|A1B1|∈()
例5:已知f(x)=x2+c,且f[f(x)]=f(x2+1)
(1)設(shè)g(x)=f[f(x)],求g(x)的解析式;(2)設(shè)φ(x)=g(x)-λf(x),試問
是否存在實數(shù)λ,使φ(x)在(-∞,-1)內(nèi)為減函數(shù),且在(-1,0)內(nèi)是增函數(shù)
點撥與提示:由f[f(x)]=f(x2+1)求出c,進而得到函數(shù)的解析式,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性.
解: (1)由題意得f[f(x)]=f(x2+c)=(x2+c)2+c,
f(x2+1)=(x2+1)2+c,∵f[f(x)]=f(x2+1)
∴(x2+c)2+c=(x2+1)2+c,∴x2+c=x2+1,∴c=1
∴f(x)=x2+1,g(x)=f[f(x)]=f(x2+1)=(x2+1)2+1
(2)φ(x)=g(x)-λf(x)=x4+(2-λ)x2+(2-λ)
若滿足條件的λ存在,則φ′(x)=4x3+2(2-λ)x
∵函數(shù)φ(x)在(-∞,-1)上是減函數(shù), ∴當(dāng)x<-1時,φ′(x)<0
即4x3+2(2-λ)x<0對于x∈(-∞,-1)恒成立
∴2(2-λ)>-4x2,
∵x<-1,∴-4x2<-4 ∴2(2-λ)≥-4,解得λ≤4
又函數(shù)φ(x)在(-1,0)上是增函數(shù) ∴當(dāng)-1<x<0時,φ′(x)>0
即4x2+2(2-λ)x>0對于x∈(-1,0)恒成立
∴2(2-λ)<-4x2,
∵-1<x<0,∴-4<4x2<0 ∴2(2-λ)≤-4,解得λ≥4
故當(dāng)λ=4時,φ(x)在(-∞,-1)上是減函數(shù),在(-1,0)上是增函數(shù),即滿足條件的λ存在
例6. 已知,t∈[,8],對于f(t)值域內(nèi)的所有實數(shù)m,不等式恒成立,求x的取值范圍。
解:∵t∈[,8],∴f(t)∈[,3]原題轉(zhuǎn)化為:>0恒成立,為m的一次函數(shù)(這里思維的轉(zhuǎn)化很重要)當(dāng)x=2時,不等式不成立?!鄕≠2。令g(m)=,m∈[,3]問題轉(zhuǎn)化為g(m)在m∈[,3]上恒對于0,則:;解得:x>2或x<-1
例8.(見備考指南148頁例3)
解:
綜上所述,得原不等式的解集為
;;
;;
例9. 若方程上有唯一解,
求m的取值范圍。
解:原方程等價于
令,在同一坐標(biāo)系內(nèi),畫出它們的圖象,
其中注意,當(dāng)且僅當(dāng)兩函數(shù)的圖象在[0,3)上有唯一公共點時,原方程有唯一解,由下圖可見,當(dāng)m=1,或時,原方程有唯一解,因此m的取值范圍為[-3,0]{1}。
例10.設(shè)函數(shù)f(x)=ax2+bx+c的圖象與兩直線y=x,y=x,均不相交.試證明對一切都有.
證明:由題意知,a≠0.設(shè)f(x)=a(x-x0)2+f(x0),則
又二次方程ax2+bx+c=±x無實根,故 Δ1=(b+1)2-4ac<0,Δ2=(b-1)2-4ac<0.
所以(b+1)2+(b-1)2-8ac<0,即2b2+2-8ac<0,即b2-4ac<-1,所以|b2-4ac|>1.