例1．作出下列函數(shù)的圖象(1)y=|x-2|(x+1)；
解：(1)當(dāng)x≥2時(shí)，即x-2≥0時(shí)，
當(dāng)x＜2時(shí)，即x-2＜0時(shí)，
這是分段函數(shù)，每段函數(shù)圖象可根據(jù)二次函數(shù)圖象作出(見(jiàn)圖6)
例2.
解析：
，
例3．(福建卷)已知是二次函數(shù)，不等式的解集是且在區(qū)間上的最大值是12。 (I)求的解析式； (II)是否存在實(shí)數(shù)使得方程在區(qū)間內(nèi)有且只有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根？若存在，求出的取值范圍；若不存在，說(shuō)明理由。
解：(I)是二次函數(shù)，且的解集是
可設(shè)在區(qū)間上的最大值是
由已知，得
(II)方程等價(jià)于方程
設(shè)則
當(dāng)時(shí)，是減函數(shù)；當(dāng)時(shí)，是增函數(shù)?！?
方程在區(qū)間內(nèi)分別有惟一實(shí)數(shù)根，而在區(qū)間內(nèi)沒(méi)有實(shí)數(shù)根，所以存在惟一的自然數(shù)使得方程在區(qū)間內(nèi)有且只有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根。
例4：已知二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c和一次函數(shù)g(x)=－bx，其中a、b、c滿(mǎn)足a>b>c,a+b+c=0,(a,b,c∈R)(1)求證兩函數(shù)的圖象交于不同的兩點(diǎn)A、B； (2)求線(xiàn)段AB在x軸上的射影A1B1的長(zhǎng)的取值范圍
解: (1)證明由消去y得ax2+2bx+c=0
Δ=4b2－4ac=4(－a－c)2－4ac=4(a2+ac+c2)=4［(a+c2］
∵a+b+c=0,a>b>c,∴a>0,c<0
∴c2>0,∴Δ>0,即兩函數(shù)的圖象交于不同的兩點(diǎn)
(2)解設(shè)方程ax2+bx+c=0的兩根為x1和x2,則x1+x2=－,x1x2=
|A1B1|2=(x1－x2)2=(x1+x2)2－4x1x2
∵a>b>c,a+b+c=0,a>0,c<0，∴a>－a－c>c,解得∈(－2,－)
∵的對(duì)稱(chēng)軸方程是
∈(－2,－)時(shí)，為減函數(shù)
∴|A1B1|2∈(3,12),故|A1B1|∈()
例5：已知f(x)=x2+c,且f［f(x)］=f(x2+1)
(1)設(shè)g(x)=f［f(x)］,求g(x)的解析式；(2)設(shè)φ(x)=g(x)－λf(x),試問(wèn)
是否存在實(shí)數(shù)λ,使φ(x)在(－∞,－1)內(nèi)為減函數(shù)，且在(－1，0)內(nèi)是增函數(shù)
點(diǎn)撥與提示：由f［f(x)］=f(x2+1)求出c，進(jìn)而得到函數(shù)的解析式，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性.
解: (1)由題意得f［f(x)］=f(x2+c)=(x2+c)2+c,
f(x2+1)=(x2+1)2+c,∵f［f(x)］=f(x2+1)
∴(x2+c)2+c=(x2+1)2+c,∴x2+c=x2+1,∴c=1
∴f(x)=x2+1,g(x)=f［f(x)］=f(x2+1)=(x2+1)2+1
(2)φ(x)=g(x)－λf(x)=x4+(2－λ)x2+(2－λ)
若滿(mǎn)足條件的λ存在，則φ′(x)=4x3+2(2－λ)x
∵函數(shù)φ(x)在(－∞,－1)上是減函數(shù)， ∴當(dāng)x＜－1時(shí)，φ′(x)＜0
即4x3+2(2－λ)x＜0對(duì)于x∈(－∞,－1)恒成立
∴2(2－λ)＞－4x2,
∵x＜－1,∴－4x2＜－4 ∴2(2－λ)≥－4,解得λ≤4
又函數(shù)φ(x)在(－1,0)上是增函數(shù) ∴當(dāng)－1＜x＜0時(shí)，φ′(x)＞0
即4x2+2(2－λ)x＞0對(duì)于x∈(－1,0)恒成立
∴2(2－λ)＜－4x2,
∵－1＜x＜0,∴－4＜4x2＜0 ∴2(2－λ)≤－4,解得λ≥4
故當(dāng)λ=4時(shí)，φ(x)在(－∞,－1)上是減函數(shù)，在(－1,0)上是增函數(shù)，即滿(mǎn)足條件的λ存在
例6. 已知，t∈[，8]，對(duì)于f(t)值域內(nèi)的所有實(shí)數(shù)m，不等式恒成立，求x的取值范圍。
解:∵t∈[，8]，∴f(t)∈[，3]原題轉(zhuǎn)化為：>0恒成立，為m的一次函數(shù)(這里思維的轉(zhuǎn)化很重要)當(dāng)x＝2時(shí)，不等式不成立。∴x≠2。令g(m)＝，m∈[，3]問(wèn)題轉(zhuǎn)化為g(m)在m∈[，3]上恒對(duì)于0，則：；解得：x>2或x<－1
例8.(見(jiàn)備考指南148頁(yè)例3)
解：
綜上所述，得原不等式的解集為
；；
；；
例9. 若方程上有唯一解，
求m的取值范圍。
解：原方程等價(jià)于
令，在同一坐標(biāo)系內(nèi)，畫(huà)出它們的圖象，
其中注意，當(dāng)且僅當(dāng)兩函數(shù)的圖象在[0，3)上有唯一公共點(diǎn)時(shí)，原方程有唯一解，由下圖可見(jiàn)，當(dāng)m=1，或時(shí)，原方程有唯一解，因此m的取值范圍為[－3，0]{1}。
例10．設(shè)函數(shù)f(x)=ax2+bx+c的圖象與兩直線(xiàn)y=x，y=x，均不相交.試證明對(duì)一切都有.
證明：由題意知，a≠0．設(shè)f(x)=a(x-x0)2+f(x0)，則
又二次方程ax2+bx+c=±x無(wú)實(shí)根，故 Δ1=(b+1)2-4ac＜0，Δ2=(b-1)2-4ac＜0．
所以(b+1)2+(b-1)2-8ac＜0，即2b2+2-8ac＜0，即b2-4ac＜-1，所以|b2-4ac|＞1．
為常數(shù)，若
，
，則
= 2 。