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考試要求:1、掌握平面的基本性質(zhì),會(huì)用斜二側(cè)的畫(huà)法畫(huà)水平放置的平面圖形的直觀圖;能夠畫(huà)出空間兩條直線、直線和平面的各種位置關(guān)系的圖形,能夠根據(jù)圖形想象它們的位置關(guān)系。2、掌握直線和平面平行的判定定理和性質(zhì)定理;理解直線和平面垂直的概念,掌握直線和平面垂直的判定定理;掌握三垂線定理及其逆定理。3、理解空間向量的概念,掌握空間向量的加法、減法和數(shù)乘。4、了解空間向量的基本定理;理解空間向量坐標(biāo)的概念,掌握空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算。5、掌握空間向量的數(shù)量積的定義及其性質(zhì);掌握用直角坐標(biāo)計(jì)算空間向量數(shù)量積的公式;掌握空間兩點(diǎn)間距離公式。6、理解直線的方向向量,平面的法向量、向量在平面內(nèi)的射影等概念。7、掌握直線和直線、直線和平面、平面和平面所成的角、距離的概念。對(duì)于異面直線的距離,只要求會(huì)計(jì)算已給出公垂線或在坐標(biāo)表示下的距離。掌握直線和平面垂直的性質(zhì)定理。掌握兩個(gè)平面平行、垂直的判定定理和性質(zhì)定理。8、了解多面體、凸多面體的概念,了解正多面體的概念。9、了解棱柱的概念,掌握棱柱的性質(zhì),會(huì)畫(huà)直棱柱的直觀圖。10、了解棱錐的概念,掌握正棱錐的性質(zhì),會(huì)畫(huà)正棱錐的直觀圖。
11、了解球的概念,掌握球的性質(zhì),掌握球的表面積、體積公式。
九、直線、平面、簡(jiǎn)單幾何體參考答案
1、D;2、C;3、B;4、D;5、;6、B;7、A;8、;9、D;10、;
11、D;12、
13. (I)證:三棱柱中, 又平面,
且平面,平面
(II)證:三棱柱中,中
是等腰三角形,
E是等腰底邊的中點(diǎn),
又依條件知,且
由①,②,③得平面EDB
(III)解:平面,且不平行,
故延長(zhǎng),ED后必相交,設(shè)交點(diǎn)為E,連接EF,如下圖
是所求的二面角,依條件易證明
為中點(diǎn),A為中點(diǎn),
,, 即
又平面EFB,,是所求的二面角的平面角
E為等腰直角三角形底邊中點(diǎn),
故所求的二面角的大小為
14、解: 以A1B1所在直線為軸,A1D1所在直線為y軸,A1A所在直線為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系。
(1)設(shè)E是BD的中點(diǎn),∵P-ABCD是正四棱錐,,
又, , ,
∴ = (-2,2,0), = (1,1,2),
∵ .=0,∴ ⊥,即 。
(2)設(shè)平面PAD的法向量是m = (x,y,z), ∵= (0,2,0) , = (1,1,2) ,
∴ Þ Þ ,
取得m = (-2,0,1),∴cos<m,n> = = - ,
。
15.解:如圖所示,建立空間直角坐標(biāo)系,是底面的中心,∥,∥.
則有關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)為,,.
∵是的中點(diǎn),是的重心,
∴它們的坐標(biāo)為,.
(1).
∴、兩點(diǎn)間的距離為.
(2),,設(shè)、的夾角為,,
∴.
∴異面直線、所成角的余弦值為.
(3)是的中點(diǎn),可以證明直線是直線在平面上的射影.
故與所成角就是與平面所成的角.點(diǎn)的坐標(biāo)為(0,2,0)
∴=(0,2,0),=(0,,-1).
設(shè)、的夾角為,則.
∴與平面所成的角為.
16、(I)證明:∵四邊形ABCD為矩形,∴BC⊥CD,DA⊥AB,∵A點(diǎn)移動(dòng)到了P點(diǎn)
∴PD⊥PB,又∵P點(diǎn)在平面BCD上的射影在CD上,∴過(guò)P點(diǎn)作PF⊥CD
∴PF⊥面BCD,∴BC⊥面PCD,∴BC⊥PD,∴PD⊥面PBC, ∴PD⊥PC
(II)解:∵PF⊥面BCD, ∴過(guò)點(diǎn)F作FE⊥BD,連結(jié)PE
∴∠PEF為二面角P-BD-C的平面角,∵PD⊥PC,∴△CPD為Rt△
,
又∵在中,,∴PE=3
,
(III)解:過(guò)F點(diǎn)作FG⊥PE,由(2)可知FG⊥面PBD,連結(jié)GD
∴∠GDF為直線CD與平面PDB所成的角
∵在中,,∴DF=2
∵在中,,,
,
17、解:(I)以A為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以AB,AD,AP所在的直線為x軸,y軸和z軸,建立空間直角坐標(biāo)系(圖略).
設(shè)PA=a,則A(0,0,0),B(2,0,0)C(2,2,0),D(0,2,0)P(0,0,a),
M(0,1,0),N(2,1,0).
∴MN⊥平面PAD. ∵M(jìn)N平面PMN,∴平面PMN⊥平面PAD.
(II)平面PBA的一個(gè)法向量為.
∵直線PC與平面PBA成角的正弦值為
即
(III)由(I),MN⊥平面PAD,知PM⊥MN,MQ⊥MN,
∴∠PMQ即為二面角P-MN-Q的平面角.
而
18、解:(1)延長(zhǎng)到使,連結(jié)、,是中點(diǎn),所以.
故直線和所成的銳角(或直角)就是和所成的角…2分
∵平面 ∴,又. ∴.
是中點(diǎn),故.所以,又,因此為等邊三角形.所以 ∴直線和所成的角是
(2)設(shè)到平面的距離為,則
∵,, ∴
(3)由上可知,,又是中點(diǎn),故,
由平面平面,∴應(yīng)平面
故,即應(yīng)為過(guò)的的垂線和的交點(diǎn).
由,所以的中垂線過(guò)點(diǎn),即為點(diǎn).
19、解:(I)證明:在△ABC中,AC=BC,M為AB的中點(diǎn),∴CM⊥AB,
又∵三棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱,
∴平面ABB1A1⊥平面ABC ∴CM⊥平面ABB1A1,
而CM平面CMD, ∴平面CMD⊥平面ABB1A1
(II)解法一
過(guò)M作ME⊥BD于E,連結(jié)CE,
∵CM⊥平面ABB1A1
∴ME是CE在平面ABB1A1上的射影,∴CE⊥BD, 所以∠CEM是二面角的平面角.
由=1,則AB=,,
取MB的中點(diǎn)F,則BF=,
∴
由得:
在Rt△CME中,tan∠CEM=
所以∠CEM=
即二面角的大小是
解法二(向量法):以C為原點(diǎn),分別以CA 、CB、CC1所在直線為x、y、z軸,建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系,令=1,
則C(0,0,0),A(1,0,0),A1(1,0,1),
B(0,1,0),B1(0,1,1),M(,,0),
D(,,1),C1(0,0,1),
∴,.
設(shè)平面CBD的法向量為,則
取,則,∴.
而平面MBD的法向量是=(,,0),
∴cos<,>=,即<,>=
如圖可知,二面角為銳角,∴二面角的大小為
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