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5、在正三棱錐S-ABC中,側棱SC⊥側面SAB,側棱SC=,則此正三棱錐的外接球的表面積為
九、直線、平面、簡單幾何體參考答案
1、D;2、C;3、B;4、D;5、;6、B;7、A;8、;9、D;10、;
11、D;12、
13. (I)證:三棱柱中, 又平面,
且平面,平面
(II)證:三棱柱中,中
是等腰三角形,
E是等腰底邊的中點,
又依條件知,且
由①,②,③得平面EDB
(III)解:平面,且不平行,
故延長,ED后必相交,設交點為E,連接EF,如下圖
是所求的二面角,依條件易證明
為中點,A為中點,
,, 即
又平面EFB,,是所求的二面角的平面角
E為等腰直角三角形底邊中點,
故所求的二面角的大小為
14、解: 以A1B1所在直線為軸,A1D1所在直線為y軸,A1A所在直線為z軸,建立空間直角坐標系。
(1)設E是BD的中點,∵P-ABCD是正四棱錐,,
又, , ,
∴ = (-2,2,0), = (1,1,2),
∵ .=0,∴ ⊥,即 。
(2)設平面PAD的法向量是m = (x,y,z), ∵= (0,2,0) , = (1,1,2) ,
∴ Þ Þ ,
取得m = (-2,0,1),∴cos<m,n> = = - ,
。
15.解:如圖所示,建立空間直角坐標系,是底面的中心,∥,∥.
則有關點的坐標為,,.
∵是的中點,是的重心,
∴它們的坐標為,.
(1).
∴、兩點間的距離為.
(2),,設、的夾角為,,
∴.
∴異面直線、所成角的余弦值為.
(3)是的中點,可以證明直線是直線在平面上的射影.
故與所成角就是與平面所成的角.點的坐標為(0,2,0)
∴=(0,2,0),=(0,,-1).
設、的夾角為,則.
∴與平面所成的角為.
16、(I)證明:∵四邊形ABCD為矩形,∴BC⊥CD,DA⊥AB,∵A點移動到了P點
∴PD⊥PB,又∵P點在平面BCD上的射影在CD上,∴過P點作PF⊥CD
∴PF⊥面BCD,∴BC⊥面PCD,∴BC⊥PD,∴PD⊥面PBC, ∴PD⊥PC
(II)解:∵PF⊥面BCD, ∴過點F作FE⊥BD,連結PE
∴∠PEF為二面角P-BD-C的平面角,∵PD⊥PC,∴△CPD為Rt△
,
又∵在中,,∴PE=3
,
(III)解:過F點作FG⊥PE,由(2)可知FG⊥面PBD,連結GD
∴∠GDF為直線CD與平面PDB所成的角
∵在中,,∴DF=2
∵在中,,,
,
17、解:(I)以A為坐標原點,分別以AB,AD,AP所在的直線為x軸,y軸和z軸,建立空間直角坐標系(圖略).
設PA=a,則A(0,0,0),B(2,0,0)C(2,2,0),D(0,2,0)P(0,0,a),
M(0,1,0),N(2,1,0).
∴MN⊥平面PAD. ∵MN平面PMN,∴平面PMN⊥平面PAD.
(II)平面PBA的一個法向量為.
∵直線PC與平面PBA成角的正弦值為
即
(III)由(I),MN⊥平面PAD,知PM⊥MN,MQ⊥MN,
∴∠PMQ即為二面角P-MN-Q的平面角.
而
18、解:(1)延長到使,連結、,是中點,所以.
故直線和所成的銳角(或直角)就是和所成的角…2分
∵平面 ∴,又. ∴.
是中點,故.所以,又,因此為等邊三角形.所以 ∴直線和所成的角是
(2)設到平面的距離為,則
∵,, ∴
(3)由上可知,,又是中點,故,
由平面平面,∴應平面
故,即應為過的的垂線和的交點.
由,所以的中垂線過點,即為點.
19、解:(I)證明:在△ABC中,AC=BC,M為AB的中點,∴CM⊥AB,
又∵三棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱,
∴平面ABB1A1⊥平面ABC ∴CM⊥平面ABB1A1,
而CM平面CMD, ∴平面CMD⊥平面ABB1A1
(II)解法一
過M作ME⊥BD于E,連結CE,
∵CM⊥平面ABB1A1
∴ME是CE在平面ABB1A1上的射影,∴CE⊥BD, 所以∠CEM是二面角的平面角.
由=1,則AB=,,
取MB的中點F,則BF=,
∴
由得:
在Rt△CME中,tan∠CEM=
所以∠CEM=
即二面角的大小是
解法二(向量法):以C為原點,分別以CA 、CB、CC1所在直線為x、y、z軸,建立如圖所示空間直角坐標系,令=1,
則C(0,0,0),A(1,0,0),A1(1,0,1),
B(0,1,0),B1(0,1,1),M(,,0),
D(,,1),C1(0,0,1),
∴,.
設平面CBD的法向量為,則
取,則,∴.
而平面MBD的法向量是=(,,0),
∴cos<,>=,即<,>=
如圖可知,二面角為銳角,∴二面角的大小為