45、⑴證明:當a>1時,不等式成立。
⑵要使上述不等式成立,能否將條件“a>1”適當放寬?若能,請放寬條件并簡述理由;若不能,也請說明理由。
⑶請你根據(jù)⑴、⑵的證明,試寫出一個類似的更為一般的結(jié)論,且給予證明。
解:(1)證:,∵a>1,∴>0,
∴原不等式成立 (6¢)
(2)∵a-1與a5-1同號對任何a>0且a¹1恒成立,∴上述不等式的條件可放寬
為a>0且a¹1 (9¢)
(3)根據(jù)(1)(2)的證明,可推知:若a>0且a¹1,m>n>0,則有(12¢)
證:左式-右式= (14¢)
若a>1,則由m>n>0Þam-n>0,am+n>0Þ不等式成立;
若0<a<1,則由m>n>0Þ0<am-n<1, 0<am+n<1Þ不等式成立.(16¢)