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55、對(duì)數(shù)列,規(guī)定為數(shù)列的一階差分?jǐn)?shù)列,其中。
對(duì)自然數(shù),規(guī)定為的階差分?jǐn)?shù)列,其中。
(1)已知數(shù)列的通項(xiàng)公式,試判斷,是否為等差或等比數(shù)列,為什么?
(2)若數(shù)列首項(xiàng),且滿足,求數(shù)列的通項(xiàng)公式。
(3)對(duì)(2)中數(shù)列,是否存在等差數(shù)列,使得對(duì)一切自然都成立?若存在,求數(shù)列的通項(xiàng)公式;若不存在,則請(qǐng)說(shuō)明理由。
解:(1),∴是首項(xiàng)為4,公差為2的等差數(shù)列。
∴是首項(xiàng)為2,公差為0的等差數(shù)列;也是首項(xiàng)為2,公比為1的等比數(shù)列。
(2),即,即,∴
∵,∴,,,猜想:
證明:ⅰ)當(dāng)時(shí),;
ⅱ)假設(shè)時(shí),
時(shí), 結(jié)論也成立
∴由ⅰ)、ⅱ)可知,
(3),即
∵
∴存在等差數(shù)列,,使得對(duì)一切自然都成立。
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