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52、如果一個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)都是實(shí)數(shù),且從第二項(xiàng)開(kāi)始,每一項(xiàng)與它前一項(xiàng)的平方差是相同的常數(shù),則稱該數(shù)列為等方差數(shù)列,這個(gè)常數(shù)叫這個(gè)數(shù)列的公方差. (1)設(shè)數(shù)列是公方差為的等方差數(shù)列,求和的關(guān)系式; (2)若數(shù)列既是等方差數(shù)列,又是等差數(shù)列,證明該數(shù)列為常數(shù)列; (3) 設(shè)數(shù)列是首項(xiàng)為,公方差為的等方差數(shù)列,若將這種順
序的排列作為某種密碼,求這種密碼的個(gè)數(shù).
(1)解:由等方差數(shù)列的定義可知:………………5分
(2)證法一:∵是等差數(shù)列,設(shè)公差為,則 又是等方差數(shù)列,∴………………………………7分 ∴ 即, …………………………………10分 ∴,即是常數(shù)列.…………………………………………………11分 證法二:∵是等差數(shù)列,設(shè)公差為,則……1 又是等方差數(shù)列,設(shè)公方差為,則……2…………7分 1代入2得,……3 同理有,……4 兩式相減得:即,…………………………………10分 ∴,即是常數(shù)列.………………………………………………11分
證法三:(接證法二1、2)
由1、2得出:若,則是常數(shù)列 …………………8分
若, 則 是常數(shù), ∴,矛盾…………10分
∴ 是常數(shù)列. …………………11分 (3)依題意, ,
, ∴,或, ……………………………13分 即該密碼的第一個(gè)數(shù)確定的方法數(shù)是,其余每個(gè)數(shù)都有“正”或“負(fù)”兩種
確定方法,當(dāng)每個(gè)數(shù)確定下來(lái)時(shí),密碼就確定了,即確定密碼的方法數(shù)是種, 故,這種密碼共種.…………………………………………………16分
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