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24.某企業(yè)2003年的純利潤為500萬元,因設備老化等原因,企業(yè)的生產(chǎn)能力將逐年下降.若不能進行技術改造,預測從今年起每年比上一年純利潤減少20萬元,今年初該企業(yè)一次性投入資金600萬元進行技術改造,預測在未扣除技術改造資金的情況下,第n年(今年為第一年)的利潤為500(1+)萬元(n為正整數(shù)).
(Ⅰ)設從今年起的前n年,若該企業(yè)不進行技術改造的累計純利潤為An萬元,進行技術改造后的累計純利潤為Bn萬元(須扣除技術改造資金),求An、Bn的表達式;
(Ⅱ)依上述預測,從今年起該企業(yè)至少經(jīng)過多少年,進行技術改造后的累計純利潤超過不進行技術改造的累計純利潤?
本小題主要考查建立函數(shù)關系式、數(shù)列求和、不等式的等基礎知識,考查運用數(shù)學知識解決實際問題的能力.滿分12分.
解:(Ⅰ)依題設,An=(500-20)+(500-40)+…+(500-20n)=490n-10n2;
Bn=500[(1+)+(1+)+…+(1+)]-600=500n--100.
(Ⅱ)Bn-An=(500n--100) -(490n-10n2)
=10n2+10n--100=10[n(n+1) - -10].
因為函數(shù)y=x(x+1) --10在(0,+∞)上為增函數(shù),
當1≤n≤3時,n(n+1) - -10≤12--10<0;
當n≥4時,n(n+1) - -10≥20--10>0.
∴僅當n≥4時,Bn>An.
答:至少經(jīng)過4年,該企業(yè)進行技術改造后的累計純利潤超過不進行技術改造的累計純利潤.