3.導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用:
①求切線的斜率。
②導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系
㈠與為增函數(shù)的關(guān)系。
能推出為增函數(shù),但反之不一定。如函數(shù)在上單調(diào)遞增,但,∴是為增函數(shù)的充分不必要條件。
㈡時(shí),與為增函數(shù)的關(guān)系。
若將的根作為分界點(diǎn),因?yàn)橐?guī)定,即摳去了分界點(diǎn),此時(shí)為增函數(shù),就一定有。∴當(dāng)時(shí),是為增函數(shù)的充分必要條件。
㈢與為增函數(shù)的關(guān)系。
為增函數(shù),一定可以推出,但反之不一定,因?yàn)椋礊榛?。?dāng)函數(shù)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)恒有,則為常數(shù),函數(shù)不具有單調(diào)性。∴是為增函數(shù)的必要不充分條件。
函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)一條重要性質(zhì),也是高中階段研究的重點(diǎn),我們一定要把握好以上三個(gè)關(guān)系,用導(dǎo)數(shù)判斷好函數(shù)的單調(diào)性。因此新教材為解決單調(diào)區(qū)間的端點(diǎn)問題,都一律用開區(qū)間作為單調(diào)區(qū)間,避免討論以上問題,也簡(jiǎn)化了問題。但在實(shí)際應(yīng)用中還會(huì)遇到端點(diǎn)的討論問題,要謹(jǐn)慎處理。
㈣單調(diào)區(qū)間的求解過程,已知 (1)分析 的定義域;(2)求導(dǎo)數(shù) (3)解不等式,解集在定義域內(nèi)的部分為增區(qū)間(4)解不等式,解集在定義域內(nèi)的部分為減區(qū)間。
我們?cè)趹?yīng)用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性時(shí)一定要搞清以下三個(gè)關(guān)系,才能準(zhǔn)確無誤地判斷函數(shù)的單調(diào)性。以下以增函數(shù)為例作簡(jiǎn)單的分析,前提條件都是函數(shù)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)。
③求極值、求最值。
注意:極值≠最值。函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上的最大值為極大值和f(a)
、f(b)中最大的一個(gè)。最小值為極小值和f(a)
、f(b)中最小的一個(gè)。
f/(x0)=0不能得到當(dāng)x=x0時(shí),函數(shù)有極值。
但是,當(dāng)x=x0時(shí),函數(shù)有極值 f/(x0)=0
判斷極值,還需結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性說明。