1. 橢圓方程的第一定義：

⑴①橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：

i. 中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上：. ii. 中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上：.         

②一般方程：.③橢圓的標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)方程：的參數(shù)方程為（一象限應(yīng)是屬于）.

⑵①頂點(diǎn)：或.②軸：對(duì)稱(chēng)軸：x軸，軸；長(zhǎng)軸長(zhǎng)，短軸長(zhǎng).③焦點(diǎn)：或.④焦距：.⑤準(zhǔn)線(xiàn)：或.⑥離心率：.⑦焦點(diǎn)半徑：

i. 設(shè)為橢圓上的一點(diǎn)，為左、右焦點(diǎn)，則

由橢圓方程的第二定義可以推出.

ii.設(shè)為橢圓上的一點(diǎn)，為上、下焦點(diǎn)，則

由橢圓方程的第二定義可以推出.

由橢圓第二定義可知：歸結(jié)起來(lái)為“左加右減”.

注意：橢圓參數(shù)方程的推導(dǎo)：得方程的軌跡為橢圓.

⑧通徑：垂直于x軸且過(guò)焦點(diǎn)的弦叫做通經(jīng).坐標(biāo)：和

⑶共離心率的橢圓系的方程：橢圓的離心率是，方程是大于0的參數(shù)，的離心率也是 我們稱(chēng)此方程為共離心率的橢圓系方程.

⑸若P是橢圓：上的點(diǎn).為焦點(diǎn)，若，則的面積為（用余弦定理與可得）. 若是雙曲線(xiàn)，則面積為.

1. 雙曲線(xiàn)的第一定義：

⑴①雙曲線(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)方程：. 一般方程：.

⑵①i. 焦點(diǎn)在x軸上： 

頂點(diǎn)：  焦點(diǎn)：   準(zhǔn)線(xiàn)方程 漸近線(xiàn)方程：或

ii. 焦點(diǎn)在軸上：頂點(diǎn)：.  焦點(diǎn)：. 準(zhǔn)線(xiàn)方程：.  漸近線(xiàn)方程：或，參數(shù)方程：或 .

②軸為對(duì)稱(chēng)軸，實(shí)軸長(zhǎng)為2a, 虛軸長(zhǎng)為2b，焦距2c.  ③離心率.   ④準(zhǔn)線(xiàn)距（兩準(zhǔn)線(xiàn)的距離）；通徑.  ⑤參數(shù)關(guān)系.  ⑥焦點(diǎn)半徑公式：對(duì)于雙曲線(xiàn)方程（分別為雙曲線(xiàn)的左、右焦點(diǎn)或分別為雙曲線(xiàn)的上下焦點(diǎn)）

 “長(zhǎng)加短減”原則：

 構(gòu)成滿(mǎn)足  （與橢圓焦半徑不同，橢圓焦半徑要帶符號(hào)計(jì)算，而雙曲線(xiàn)不帶符號(hào)）

⑶等軸雙曲線(xiàn)：雙曲線(xiàn)稱(chēng)為等軸雙曲線(xiàn)，其漸近線(xiàn)方程為，離心率.

⑷共軛雙曲線(xiàn)：以已知雙曲線(xiàn)的虛軸為實(shí)軸，實(shí)軸為虛軸的雙曲線(xiàn)，叫做已知雙曲線(xiàn)的共軛雙曲線(xiàn).與互為共軛雙曲線(xiàn)，它們具有共同的漸近線(xiàn)：.

⑸共漸近線(xiàn)的雙曲線(xiàn)系方程：的漸近線(xiàn)方程為如果雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)為時(shí)，它的雙曲線(xiàn)方程可設(shè)為.

例如：若雙曲線(xiàn)一條漸近線(xiàn)為且過(guò)，求雙曲線(xiàn)的方程？

解：令雙曲線(xiàn)的方程為：，代入得.

⑹直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)的位置關(guān)系：

區(qū)域①：無(wú)切線(xiàn)，2條與漸近線(xiàn)平行的直線(xiàn)，合計(jì)2條；

區(qū)域②：即定點(diǎn)在雙曲線(xiàn)上，1條切線(xiàn)，2條與漸近線(xiàn)平行的直線(xiàn)，合計(jì)3條；

區(qū)域③：2條切線(xiàn)，2條與漸近線(xiàn)平行的直線(xiàn)，合計(jì)4條；

區(qū)域④：即定點(diǎn)在漸近線(xiàn)上且非原點(diǎn)，1條切線(xiàn)，1條與漸近線(xiàn)平行的直線(xiàn)，合計(jì)2條；

區(qū)域⑤：即過(guò)原點(diǎn)，無(wú)切線(xiàn)，無(wú)與漸近線(xiàn)平行的直線(xiàn).

小結(jié)：過(guò)定點(diǎn)作直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)有且僅有一個(gè)交點(diǎn)，可以作出的直線(xiàn)數(shù)目可能有0、2、3、4條.

（2）若直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)一支有交點(diǎn)，交點(diǎn)為二個(gè)時(shí)，求確定直線(xiàn)的斜率可用代入法與漸近線(xiàn)求交和兩根之和與兩根之積同號(hào).

⑺若P在雙曲線(xiàn)，則常用結(jié)論1：P到焦點(diǎn)的距離為m = n，則P到兩準(zhǔn)線(xiàn)的距離比為m┱n.

簡(jiǎn)證：  = .

常用結(jié)論2：從雙曲線(xiàn)一個(gè)焦點(diǎn)到另一條漸近線(xiàn)的距離等于b.

3. 設(shè)，拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程、類(lèi)型及其幾何性質(zhì)：

圖形

焦點(diǎn)

準(zhǔn)線(xiàn)

范圍

對(duì)稱(chēng)軸

軸

軸

頂點(diǎn)

                                 （0，0）

離心率

焦點(diǎn)

注：①頂點(diǎn).

②則焦點(diǎn)半徑;則焦點(diǎn)半徑為.

③通徑為2p，這是過(guò)焦點(diǎn)的所有弦中最短的.

④（或）的參數(shù)方程為（或）（為參數(shù)）.

四、圓錐曲線(xiàn)的統(tǒng)一定義..

4. 圓錐曲線(xiàn)的統(tǒng)一定義：平面內(nèi)到定點(diǎn)F和定直線(xiàn)的距離之比為常數(shù)的點(diǎn)的軌跡.

當(dāng)時(shí)，軌跡為橢圓；

當(dāng)時(shí)，軌跡為拋物線(xiàn)；

當(dāng)時(shí)，軌跡為雙曲線(xiàn)；

當(dāng)時(shí)，軌跡為圓（，當(dāng)時(shí)）.

5. 圓錐曲線(xiàn)方程具有對(duì)稱(chēng)性. 例如：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程對(duì)原點(diǎn)的一條直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)的交點(diǎn)是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的.

因?yàn)榫哂袑?duì)稱(chēng)性，所以欲證AB=CD, 即證AD與BC的中點(diǎn)重合即可.