1．已知集合，且，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（    ）

    A．    B．    C．  D．

2．若函數(shù)的反函數(shù)為，則等于（    ）

    A．   B．   C．    D．

3．在等差數(shù)列中，，則此數(shù)列的前13項(xiàng)的和等于（    ）

    A．13      B．26    C．8     D．16

4．復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對應(yīng)的點(diǎn)位于（    ）

    A．實(shí)軸上    B．虛軸上   C．第一象限   D．第二象限

5．已知正三棱錐中，一條側(cè)棱與底面所成的角為，則一個(gè)側(cè)面與底面所成的角為（    ）

    A．   B．   C．   D．

6．若函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，則函數(shù)一定是（    ）

    A．奇函數(shù)                  B．偶函數(shù)

    C．既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)    D．非奇非偶函數(shù)

7．某市有6名教師志愿到四川地震災(zāi)區(qū)的甲、乙、丙三個(gè)鎮(zhèn)去支教，每人只能去一個(gè)鎮(zhèn)，則恰好其中一鎮(zhèn)去4名，另兩鎮(zhèn)各一名的概率為（    ）

      A．    B．      C．    D．

8．過圓上一點(diǎn)作切線與軸，軸的正半軸交于、兩點(diǎn)，則的最小值為（    ）

    A．    B．    C．    D．

9．某市學(xué)生的高考成績服從正態(tài)分布，平均成績，方差為，若全市高考錄取率為，則錄取分?jǐn)?shù)線為(已知) （    ）

    A．   B．    C．     D．

10．設(shè)動(dòng)直線與函數(shù)和的圖象分別交于、兩點(diǎn)，則的最大值為（    ）

    A．   B．    C．    D．

11．已知函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（    ）

    A．  B．  C．    D．

12．雙曲線的左準(zhǔn)線為，左焦點(diǎn)和右焦點(diǎn)分別為、，拋物線的準(zhǔn)線為，焦點(diǎn)為，與的一個(gè)交點(diǎn)為，線段的中點(diǎn)為，是坐標(biāo)原點(diǎn)，則（    ）

    A．     B．     C．     D．

第Ⅱ卷 (非選擇題  共90分)

13．若對于任意的實(shí)數(shù)，都，則實(shí)數(shù)的值為        ．

14．若棱長為的正方體的八個(gè)頂點(diǎn)都在球的表面上，則，兩點(diǎn)之間的球面距離為         ．

15．函數(shù)的最小值是          ．

16．給出以下四個(gè)命題：

    ①函數(shù)的最小值為2；

    ②在數(shù)列中，，是其前項(xiàng)和，且滿足，則數(shù)列是等比數(shù)列；

    ③若，則函數(shù)是以4為周期的周期函數(shù)；

    ④若函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，則的值為．

    則正確命題的序號是                 。

17．(本小題滿分10分)

18．(本小題滿分12分)

    在中，， ．

   (Ⅰ)求；

  (11)設(shè)的外心為，若，求，的值．

19．(本小題滿分12分)

    在四棱錐中，底面是

邊長為2的菱形，，，

，是的中點(diǎn)．

    (Ⅰ)證明：平面；

    (Ⅱ)求二面角的大小．

    (Ⅲ)設(shè)是直線上的動(dòng)點(diǎn)，求點(diǎn)到平面的最大距離．

20．(本小題滿分12分)

    已知函數(shù)．

    (I)求的單調(diào)區(qū)間；

    (Ⅱ)若存在實(shí)數(shù)，使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

21．(本小題滿分12分)

    已知兩點(diǎn)和分別在直線和上運(yùn)動(dòng)，且，動(dòng)點(diǎn)滿足： (為坐標(biāo)原點(diǎn))，點(diǎn)的軌跡記為曲線．

    (Ⅰ)求曲線的方程，并討論曲線的類型；

    (Ⅱ)過點(diǎn)作直線與曲線交于不同的兩點(diǎn)、，若對于任意，都有為銳角，求直線的斜率的取值范圍．

22．(本小題滿分12分)

    在數(shù)列中，，且．

    (Ⅰ)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

    (Ⅱ)令，數(shù)列的前項(xiàng)和為，試比較與的大��；

    (Ⅲ)令，數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：對任意都有

2009石家莊市高三第一次模擬考試

數(shù)學(xué)理科答案

1.A      2. B     3. A      4. B     5.D     6.A

7. B      8.A     9. C     10. D    11.B　  12.C

13．　            14．　      

15．  1                 16．③  ，④  

（小時(shí)）

,………………………7分

.…………………………………9分

18．(本題12分)

解: (Ⅰ)由余弦定理知:

,………2分

.……………5分

(Ⅱ)由,

知

…………………………………7分

為的外心，

.

同理.………………………………10分

即， 解得: ……12分

19．(本題12分)

（Ⅰ）取的中點(diǎn)，連結(jié)，.

四邊形為菱形,,

則……………2分

.

同理

故.……………………4分

（或用同一法可證）

（Ⅱ）先求二面角的大小

取的中點(diǎn)， 過作于點(diǎn)，

連結(jié).

則，

是二面角的平面角，……6分

可求得，

又

所以二面角的大小為.……………………8分

法二: 過作交于，

以為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線、、

分別為軸，

建立空間直角坐標(biāo)系.

則（0，0，0），，

（0，0，2），.

,.…………………6分

設(shè)平面的法向量為，

則

取=則.

設(shè)平面的法向量為，

則  取，

則.

＜，＞=，

二面角的大小為.……………………8分

（Ⅲ）先求點(diǎn)到平面的最大距離.

點(diǎn)到直線的距離即為點(diǎn)到平面的距離. ……10分

過作直線的垂線段,在所有的垂線段中長度最大為.

為的中點(diǎn),

故點(diǎn)到平面的最大距離為1. ……………………12分

20.(本題12分)

解：（Ⅰ）

（?）當(dāng)時(shí),

的單調(diào)遞增區(qū)間是().……………………2分

(?) 當(dāng)時(shí),令得

當(dāng)時(shí)，

當(dāng)時(shí)，

的單調(diào)遞減區(qū)間是()，

的單調(diào)遞增區(qū)間是 ().……………………5分

(Ⅱ),

,.

設(shè)

若存在實(shí)數(shù),使得成立,

則……………………8分

解得得,

當(dāng)時(shí),

當(dāng)時(shí),

在上是減函數(shù),在上是增函數(shù). …………………10分

的取值范圍是().…………………………………………………12分

21．(本題12分)

（I）由，得是的中點(diǎn). …………2分

設(shè)依題意得:

消去，整理得．

當(dāng)時(shí)，方程表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓；

當(dāng)時(shí)，方程表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓；

當(dāng)時(shí)，方程表示圓．       ……………………………5分

（II）由，焦點(diǎn)在軸上的橢圓，直線與曲線恒有兩交點(diǎn)，

直線斜率不存在時(shí)不符合題意；

可設(shè)直線的方程為，直線與橢圓交點(diǎn).

.………………7分

要使為銳角，只需

.………………9分

即，

可得，對于任意恒成立.

而，

所以的取值范圍是.………………12分

22(本題12分)

 解:(Ⅰ)，………………1分

，

即().………………3分

（II），

.

猜想當(dāng)時(shí)，.………………4分

下面用數(shù)學(xué)歸納法證明:

①當(dāng)時(shí)，由上可知成立；

②假設(shè)時(shí)，上式成立，即.

當(dāng)時(shí)，

所以當(dāng)時(shí)成立.

由①②可知當(dāng)時(shí),. ………………7分

綜上所述當(dāng)時(shí), ;

當(dāng)時(shí), ;

當(dāng)時(shí),. ………………8分

（III）

當(dāng)時(shí)，

所以

＋.………………12分