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海淀2007高三數(shù)學(xué)查漏補(bǔ)缺題

07年高考數(shù)學(xué)北京卷應(yīng)該是在06年北京卷成功的基礎(chǔ)上,穩(wěn)定的發(fā)展,復(fù)習(xí)中要對(duì)各區(qū)題目(尤其東城、西城、海淀)文科理科中重點(diǎn)板塊不僅要明確知識(shí)點(diǎn),而且還要掌握結(jié)構(gòu)特點(diǎn),要用聯(lián)系的思想看知識(shí)間的綜合,用運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)看能力的要求. 高考數(shù)學(xué)試題是以思維能力考查為主體的，試題展現(xiàn)數(shù)學(xué)關(guān)系常常選取不同展示形式（圖表、圖象、曲線圖、表格、符號(hào)、等等）之一，同學(xué)們要善于利用數(shù)學(xué)信息的多種表述分析問(wèn)題，聯(lián)系已有知識(shí)方法，提高分析問(wèn)題、解決問(wèn)題能力.

一、函數(shù)與導(dǎo)數(shù)

1．〖理科〗已知函數(shù)f (x)=6lnx―ax²―8x+b (a，b為常數(shù))，且x =3為f (x)的一個(gè)極值點(diǎn)．

(Ⅰ) 求a；

(Ⅱ) 求函數(shù)f (x)的單調(diào)區(qū)間；

(Ⅲ) 若y = f (x)的圖象與x軸正半軸有且只有3個(gè)交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)b的取值范圍．

解： (Ⅰ) ∵ f ′ (x) =―2ax―8， ∴ f ′ (3) =2―6a―8=0，則a = ―1．

(Ⅱ) 函數(shù)f (x)的定義域?yàn)椋?，+∞）．

由(Ⅰ) 知f (x) =6lnx+x²―8x+b．

∴ f ′ (x) =+2x―8=．

由f ′ (x)>0可得x>3或x<1，由f ′ (x)<0可得1<x<3．

∴函數(shù)f (x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0，1)和(3，+∞)，單調(diào)遞減區(qū)間為(1，3)．

(注：?jiǎn)握{(diào)區(qū)間應(yīng)分開(kāi)寫(xiě)，不能用“È”連接)

(Ⅲ) 由(Ⅱ)可知函數(shù)f (x)在(0，1)單調(diào)遞增，在(1，3)單調(diào)遞減，在(3，+∞)單調(diào)遞增．

且當(dāng)x=1或x=3時(shí)，f ′ (x)=0．

∴ f (x)的極大值為f (1)=6ln1+1―8+b=b―7，

f (x)的極小值為f (3)=6ln3+9―24+b=6ln3+b―15．

∵當(dāng)x充分接近0時(shí)，f (x)<0，當(dāng)x充分大時(shí)，f (x)>0，

∴要使f (x)的圖象與x軸正半軸有且僅有三個(gè)不同的交點(diǎn)，只需

則7<b<15―6ln3

2．〖理科、文科〗設(shè)函數(shù)，其圖象在點(diǎn)處的切線的斜率分別為．

（Ⅰ）求證：；

（Ⅱ）若函數(shù)的遞增區(qū)間為，求的取值范圍；

（Ⅲ）若當(dāng)時(shí)（k是與無(wú)關(guān)的常數(shù)），恒有，試求k的最小值．

（Ⅰ）證明：，由題意及導(dǎo)數(shù)的幾何意義得

， �。�1）

，（2）

又，可得，即，故

由（1）得，代入，再由，得

，（3）

將代入（2）得，即方程有實(shí)根．

故其判別式得，或，（4）

由（3），（4）得；

（Ⅱ）解：由的判別式，

知方程有兩個(gè)不等實(shí)根，設(shè)為，

又由知，為方程（）的一個(gè)實(shí)根，則由根與系數(shù)的關(guān)系得

，

當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，

故函數(shù)的遞增區(qū)間為，由題設(shè)知，

因此，由（Ⅰ）知得

的取值范圍為；

（Ⅲ）解：由，即，即，

因?yàn)?sub>，則，整理得，

設(shè)，可以看作是關(guān)于的一次函數(shù)，

由題意對(duì)于恒成立，

故即得或，

由題意，，

故，因此的最小值為．

二、數(shù)列

3．對(duì)于數(shù)列{a_n}， {c_n}數(shù)列，其中c_n=a_n₊₁― a_n(nÎN^*)．

(Ⅰ) 若數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式 (nÎN^*)，求{c_n}的通項(xiàng)公式；

(Ⅱ) 若數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)是1，且滿足c_n― a_n=2ⁿ．

(1) 求證：數(shù)列為等差數(shù)列；

(2) (理) 若(nÎN^*)，求證：．

(文) 求數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n．

證明：(Ⅰ)依題意c_n=a_n₊₁― a_n，

∴ c_n=．

(Ⅱ)(1)由c_n― a_n=2ⁿ得a_n₊₁― a_n― a_n=2ⁿ，即a_n₊₁=2a_n+2ⁿ．

∴，即．

∵a₁=1，，∴是以為首項(xiàng)、為公差的等差數(shù)列．

(2)(理)由(1)知a_n=n?2ⁿ^-1．　　　　　　　　　　　　　

∴ ．

∴ ． ∴

=．

(文)由(1)得a_n=＝n?2ⁿ^-1，

∴ S_n= a₁+a₂+…+a_n=1?2⁰+2?2¹+…+n?2ⁿ^-1， ①

∴ 2S_n=1?2¹+2?2²+…+n?2ⁿ． ②

①―②得：― S_n=1+2+2²+…+2ⁿ^-1― n?2ⁿ=― n?2ⁿ，

∴ S_n= n?2ⁿ― 2ⁿ+1=(n― 1)?2ⁿ +1．

4．〖理科、文科〗設(shè)數(shù)列的各項(xiàng)都是正數(shù)，記S_n為數(shù)列的前n項(xiàng)和，且對(duì)任意n∈N₊，都有.

（Ⅰ）求證：=2S_n－a_n；

（Ⅱ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（Ⅲ）若（為非零常數(shù)，n∈N₊），問(wèn)是否存在整數(shù)，使得對(duì)任意 n∈N₊，都有b_n₊₁>b_n.

（Ⅰ）證明：在已知式中，當(dāng)n=1時(shí)，

∵a₁>0 ∴a₁=1……………………………………1分

當(dāng)n≥2時(shí)， ①

②

①－②得，…………………………3分

∵a_n>0 ∴=2a₁+2a₂+…+2a_n_－1+a_n，

即=2S_n－a_n ∵a₁=1適合上式

∴=2S_n－a_n(n∈N₊)……………………5分

（Ⅱ）解：由（1）知=2S_n－a_n(n∈N₊) ③

當(dāng)n≥2時(shí)， =2S_n_－1－a_n_－1 ④

③－④得－=2(S_n－S_n_－1)－a_n+a_n_－1=2a_n－a_n+ a_n_－1= a_n+ a_n_－1

∵a_n+a_n_－1>0 ∴a_n－a_n_－1=1……………………8分

∴數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，首項(xiàng)為1，公差為1，可得a_n=n………………9分

（Ⅲ）解：∵

欲使

即成立 ⑤……………………11分

當(dāng)n=2k－1，k=1，2，3，…時(shí)，⑤式即為 ⑥

依題意，⑥式對(duì)k=1，2，3…都成立，∴λ<1………………12分

當(dāng)n=2k，k=1，2，3，…時(shí)，⑤式即為 ⑦

依題意，⑦式對(duì)k=1，2，3，…都成立，

∴……………………13分

∴

∴存在整數(shù)λ=－1，使得對(duì)任意n∈N₊，都有>

_{三、立體幾何}

5. 〖理科、文科〗如圖，已知正三棱柱―的底面邊長(zhǎng)是，是側(cè)棱的中點(diǎn)，直線與側(cè)面所成的角為．

（Ⅰ）求此正三棱柱的側(cè)棱長(zhǎng)；

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