浙江省五校2007年高三第二次聯(lián)合考試數(shù)學(理科)試題

參考公式:

如果事件 A , B 互斥,那么P( A+ B )= P( A)+ P( B) , P( A+ B)= P( A)P( B)

如果事件A在一次試驗中發(fā)生的概念是p,那么n次獨立重復試驗中恰好發(fā)生 k次的概率:

球的表面積公式:S=, 其中 R 表示球的半徑

球的體積公式V=,其中R表示球的半徑

第I卷

一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。

1.  知四邊形ABCD上任意一點P在映射作用下的象P構(gòu)成的圖形為四邊形。若四邊形ABCD的面積等于6,則四邊形的面積等于

                                                                                                                              (    )

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       A.9                        B.                  C.                  D.6

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2.已知復數(shù)Z,則的值是                                         (    )       A.1          B.            C.                  D.

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3.有一正方體,六個面上分別寫有數(shù)字1、2、3、4、5、6,有三個人從不同的角度觀察的結(jié)果如圖所示.如果記3的對面的數(shù)字為m,4的對面的數(shù)字為n,那么m+n的值為(    )

      A.11                      B.8                        C.7                        D.3

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4.已知集合A中有10個元素,B中有6個元素,全集U中有18個元素,設(shè)∁U(A∪B)有x個元素,則x的取值范圍是                                                                (    )

       A.3≤x≤8且x∈N                                    B.2≤x≤8且x∈N
  C.8≤x≤12且x∈N                 D.10≤x≤15且x∈N

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5.設(shè)函數(shù)的最大值為3,則f(x)的圖象的一條對稱軸的方程是                                                    (    )

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       A.               B.               C.               D.

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6.要從10名女生與5名男生中選取6名學生組成課外興趣小組,如果按性別分層隨機抽樣,試問能組成課外興趣小組的概率是                                                                                        (    )

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      A.         B.         C.             D.

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7.已知直線通過拋物線的焦點,且與拋物線相交于兩點,分別過兩點的拋物線的兩條切線相交于點,則的大小是                                                         (    )

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       A.                  B.                   C.                   D.   

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8.設(shè)數(shù)列的前項和(    )

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       A.            B.               C.              D.

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9.若方程有解,則屬于                                                                (    )

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       A.            B.           C.            D.

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10.設(shè)是異面直線,給出下列四個命題:①存在平面,使;

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②存在惟一平面,使距離相等;③空間存在直線,使上任一點到距離相等;④夾在異面直線間的三條異面線段的中點不能共線。

2,4,6

       A.1個                 B.2個                 C.3個                 D.4個

第II卷

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二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分。

11.的展開式中系數(shù)最小的項的系數(shù)為        .?(用數(shù)字表示)

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12.已知平面上三點A、B、C滿足,,,則

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的值等于        .

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13.光線每通過一塊玻璃,其強度要失掉。把幾塊同樣的玻璃重疊起來,通過它們的光線的強度減弱到原來強度的以下,那么至少重疊        塊玻璃()。

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14.已知,若恒成立,則的最大值為         

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15.過軸上一點,向圓作切線,切點分別為,則面積的最大值為          。

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16.甲袋裝有4個球,1個球標0, 3個球標1;乙袋裝有5個球,2個球標0,1個球標1,2個球標2。現(xiàn)從甲乙兩個袋子中各取一個球,則取出的兩個球上標有的數(shù)碼之積的數(shù)學期望         

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17.函數(shù),滿足

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則符合條件的函數(shù)            。

2,4,6

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三、解答題(本大題共5小題,共70分,解答題應(yīng)寫出文字說明,證明過程或演算步驟)

(I)求的值;

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(II)求的值。

 

 

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19.(本小題共14分)已知斜三棱柱,在底面上的射影恰為的中點,又知。

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(I)求證:平面;

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(II)求到平面的距離;

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(III)求二面角的大小。

 

 

 

2,4,6

 

 

 

2,4,6

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(I)求點的軌跡的方程;

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(II)若是過點且垂直于軸的直線,是否存在直線,使得與曲線交于兩個不同的點,且恰被平分?若存在,求出的斜率的取值范圍;若不存在,請說明理由。

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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21.(本小題共14分)設(shè)函數(shù),其中,記函數(shù)的最大值與最小值的差為。

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(I)求函數(shù)的解析式;

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(II)畫出函數(shù)的圖象并指出的最小值。

 

 

 

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22.(本小題共16分)已知函數(shù),數(shù)列滿足,

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; 數(shù)列滿足, .求證:

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(Ⅰ)

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(Ⅱ)

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   (Ⅲ)若則當n≥2時,.

浙江省五校2007年高三第二次聯(lián)合考試

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一、選擇題

1.選D。提示:在映射f作用下,四邊形ABCD整體平移,面積不變

2,4,6

3.選B。提示:3的對面的數(shù)字是6,4 的對面的數(shù)字是2,故。

4.選B。提示:設(shè)A∪B元素個數(shù)為y,可知10≤y≤16, y∈N,又由x = 18-y可得。

5.選A。提示: 可知一條對稱軸。

6.選A。提示:依題意:課外興趣味小組由4名女生2名男生組成,共有種選法.其概率為

7.選C。提示:設(shè)代入,記

,,

8.選A。提示:  

9.選B。提示:原方程兩邊立方并整理得,,顯然,,由于 上是增函數(shù),且,,所以。

10.選C。提示:①正確;②正確,即為公垂線AB的中垂面;③正確,過AB中點 的平行線,則的平分線符合條件;④不正確,關(guān)于對稱的兩條異面線段的中點與共線。

二、填空題

11.。提示:最小系數(shù)為。

12.。提示:

13.11.提示:,,取。

14.。提示:由已知,,即,由線性規(guī)劃知識知,當,達到最大值

15.。提示:令,則,因為,所以

          0

          1

          2

           

           

           

           

           

           

                 。

          17.。提示:令,得;令,得;令,得;令,得;故。

          三、解答題

          18.解:(I)

          ――――7分

          (II)因為為銳角,且,所以。――――9分

          ――14分

          19.解:(I)因為平面,

          所以平面平面

          ,所以平面

          ,又

          所以平面;――――4分

          (II)因為,所以四邊形為 

          菱形,

          ,又中點,知。

          中點,則平面,從而面

                 過,則,

                 在中,,故,

                 即到平面的距離為。――――9分

                 (III)過,連,則

                 從而為二面角的平面角,

                 在中,,所以,

          中,

                 故二面角的大小為。14分

           

                 解法2:(I)如圖,取的中點,則,因為,

                 所以,又平面,

                 以軸建立空間坐標系,

                 則,,,

          ,

          ,

          ,由,知

                 又,從而平面;――――4分

                 (II)由,得。

                 設(shè)平面的法向量為,,所以

          ,設(shè),則

                 所以點到平面的距離。――9分

                 (III)再設(shè)平面的法向量為,

                 所以

          ,設(shè),則,

                 故,根據(jù)法向量的方向,

                 可知二面角的大小為。――――14分

          20.解:(I)設(shè),則,因為 ,可得;又由,

                 可得點的軌跡的方程為。――――6分(沒有扣1分)

                 (II)假設(shè)存在直線,代入并整理得

          ,――――8分

                 設(shè),則   ――――10分

                 又

                

          ,解得――――13分

                 特別地,若,代入得,,此方程無解,即。

                 綜上,的斜率的取值范圍是。――――14分

          21.解:(I)

                 (1)當時,函數(shù)增函數(shù),

                 此時,,

          ,所以;――2分

                 (2)當時,函數(shù)減函數(shù),此時,,

          ,所以;――――4分

                 (3)當時,若,則,有;

                 若,則,有

                 因此,,――――6分

                 而,

                 故當時,,有

                 當時,,有;――――8分

          綜上所述:。――――10分

                 (II)畫出的圖象,如右圖。――――12分

                 數(shù)形結(jié)合,可得。――――14分

          22.解: (Ⅰ)先用數(shù)學歸納法證明,.

                 (1)當n=1時,由已知得結(jié)論成立;

                 (2)假設(shè)當n=k時,結(jié)論成立,即.則當n=k+1時,

                 因為0<x<1時,,所以f(x)在(0,1)上是增函數(shù).

                 又f(x)在上連續(xù),所以f(0)<f()<f(1),即0<.

                 故當n=k+1時,結(jié)論也成立. 即對于一切正整數(shù)都成立.――――4分

                 又由, 得,從而.

                 綜上可知――――6分

                 (Ⅱ)構(gòu)造函數(shù)g(x)=-f(x)= , 0<x<1,

                 由,知g(x)在(0,1)上增函數(shù).

                 又g(x)在上連續(xù),所以g(x)>g(0)=0.

              因為,所以,即>0,從而――――10分

                 (Ⅲ) 因為 ,所以, ,

                 所以   ――――① , ――――12分

                 由(Ⅱ)知:,  所以= ,

                 因為, n≥2,

              所以 <<=――――② .  ――――14分

                 由①② 兩式可知: .――――16分


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