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淮安市2006-2007學年度高三年級第四次調查測試
數 學 試 題 2007.5
注 意 事 項
考生在答題前請認真閱讀注意事項及各題要求
1． 本試卷共4頁，包含選擇題（第1題～第10題）、填空題（第11題～第16題）、解答題（第17題～21題）三部分.本次考試時間為120分鐘.考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回.
2． 答題前，請您務必將自己的姓名、考試證號用書寫黑色字跡的0.5毫米簽字筆寫在試卷及答題卡上的指定位置.
3． 作答非選擇題必須用書寫黑色字跡的0.5毫米簽字筆寫在答題卡上的指定位置，在其它位置作答一律無效.作答選擇題必須用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案.
4． 如有作圖需要，可用2B鉛筆作答，并請加黑加粗，描寫清楚.
參考公式：
如果事件A、B互斥，那么P（A＋B）＝P（A）＋P（B）
如果事件A、B相互獨立，那么
如果事件在一次試驗中發(fā)生的概率是，那么次獨立重復試驗中恰好發(fā)生次的概率
一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分，在每小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的，請把正確答案填涂在答題卡的指定位置。
1．已知集合，，則集合的真子集個數為 （ ）
A 32個 B 31個 C 64個 D 63個
試題詳情
2．已知條件p：內是增函數，條件q：，則p是q成立的（ ）
A 充要條件 B 充分不必要條件
C 必要不充分條件 D 既不充分又不必要條件
3．若把函數的圖象沿向量平移，使所得的圖象關于軸對稱，則的最小值是 （ ）
A B C D
4．下列命題正確的是 （ ）
A 垂直于同一平面的兩個平面互相平行
B 經過平面的一條斜線的平面與平面一定不垂直
C 若a，b是異面直線，則過直線a一定不能作與直線b垂直的平面
D 若平面，相交但不垂直，則平面內任意一條直線都與平面不垂直
5．已知等差數列的前項和為，且，則 （ ）
6．已知二項式（的展開式中含有的項， 則n的一個可能值是 ( )
A 6 B 9 C 8 D 10
7．已知變量滿足約束條件，則目標函數的最大值為( )
8．已知二面角的平面角為,，，為垂足，設，，
到棱的距離分別為、，當變化時，點的軌跡是 ( )
9．已知函數，正實數a、b、c成公差為正數的等差數列，且滿足，若實數d 是方程的一個解，那么下列四個判斷：①；②；③；④中有可能成立的個數為 ( )
A 1 B 2 C 3 D 4
10．已知實數，其中，且，則實數對表示平面上不同點的個數為 ( )
A 個 B 個 C 個 D 個
二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分.請將答案填寫在答題卡的指定位置.
11．將一組樣本數據中的每一個數據都乘以2，再都減去80，得到一組新的樣本數據. 若求得新的樣本數據的平均數是1.2，方差是4.4，則原樣本數據的平均數為 ▲ ，方差為 ▲ 。
12．已知函數在區(qū)間內存在極值，則實數的取值范圍為 ▲ 。
13．已知平面內的向量、滿足：||=||=1， 與的夾角為，又=x+y，
，，則點的集合所表示的圖形面積為 ▲ 。
14．已知橢圓上的點與（i=1,2,3）關于x軸對稱，且為該橢圓的一個焦點，則 ▲ 。
15．如圖為類似課本研究性學習課題《楊輝三角》中的豎直平面內一些通道，
圖中粗線條均表示通道，一鋼珠從入口處自上而下沿通道自由落入乙處
的概率是 ▲ 。 （第15題圖）
16．已知直線相切，其中m、，試寫出所有滿足條件的有序實數對(m，n)： ▲ 。
三、解答題：本大題共5小題，共70分. 解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。請將解題過程寫在答題卡指定的方框內。
17．（本小題滿分12分）
已知△ABC的面積為，且滿足。
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求的值。
18．（本小題滿分14分）
已知橢圓：的左、右焦點分別為，為橢圓上的任意一點，滿足的最小值為，過作垂直于橢圓長軸的弦長為3．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）若過的直線交橢圓于兩點，求的取值范圍．
19．(本小題滿分14分)
如圖，平面PAD⊥平面ABCD，ABCD為正方形，△PAD是直角三角形，且PA=AD=2，E、F、G分別是線段PA、PD、CD的中點。
1,3,5
（Ⅱ）求異面直線EG與BD所成的角；
（Ⅲ）在線段CD上是否存在一點Q，使得A點到平面EFQ的距離為0.8，若存在，求出CQ的值；若不存在，請說明理由。
20．(本小題滿分14分)
已知，函數
（Ⅰ）當t=1時，求函數在區(qū)間[0，2]的最值；
（Ⅱ）若在區(qū)間[－2，2]上是單調函數，求t的取值范圍；
（Ⅲ））是否存在常數t，使得任意恒成立，若存在，請求出t，若不存在請說明理由.
21． (本小題滿分16分)
設集合是滿足下列兩個條件的無窮數列的集合：
① ② 是與無關的常數.
（Ⅰ）若是等差數列，是其前n項的和，，證明：；
（Ⅱ）設數列的通項為，求的取值范圍；
（Ⅲ））設數列的各項均為正整數，且，試證。
命題：周志國 馮建國
審校：馮建國 劉興東 劉其鹿
說明：
一、本解答給出了每題要考查的主要知識和能力，并給出了一種或幾種解法供參考，如果考生的解法與本解答不同，可根據試題的主要考查內容比照評分標準制定相應的評分細則。
二、對計算題，當考生的解答在某一步出現錯誤時，如果后續(xù)部分的解答未改變該題的內容和難度，可視影響的程度決定后續(xù)部分的給分，但不得超過該部分正確解答所給分數的一半；如果后續(xù)部分的解答存在較嚴重的錯誤，則不再給分。
三、解答右端所注分數，表示考生正確做到這一步應得的累加分數。
四、每題只給整數分數，選擇題和填空題不給中間分。
一、選擇題：
題號
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
C
D
A
二、填空題：
11．40.6,1.1 12． 13． 14．30 15． 16．（1，1），（2，2），（3，4），（4，8）
三、解答題：
17．（Ⅰ）， ① …………………2分
又， ∴ ② ……………… 4分
由①、②得 …………………………………………………………… 6分
（Ⅱ） ……………………………………… 8分
…………………………………………………………………… 10分
…………………………………………………………………………12分
18．（Ⅰ）設點，則，
，
，又，
，∴橢圓的方程為： …………………………………………7分
（Ⅱ）當過直線的斜率不存在時，點，則；
當過直線的斜率存在時，設斜率為，則直線的方程為，
設，由 得：
…………………………………………10分
……13分
綜合以上情形，得： ……………………………………………………14分
∴GH∥AD∥EF，∴E，F，G，H四點共面. ……………………1分
又H為AB中點，∴EH∥PB. 又EH面EFG，PB平面EFG，
∴PB∥平面EFG. ………………………………4分
（Ⅱ）取BC的中點M，連結GM、AM、EM，則GM//BD，
∴∠EGM（或其補角）就是異面直線EG與BD所成的角.……6分
在Rt△MAE中， ，
同理，又GM=，………………7分
∴在△MGE中， ………………8分
故異面直線EG與BD所成的角為arccos， ………………………………9分
又AB∩PA=A，∴AD⊥平面PAB. ……………………………………10分
又∵E，F分別是PA，PD中點，∴EF∥AD，∴EF⊥平面PAB.
又EF面EFQ，∴面EFQ⊥面PAB. ………………………………11分
過A作AT⊥ER于T，則AT⊥平面EFQ，
∴AT就是點A到平面EFQ的距離. ………………………………12分
設，則
在， …………………………13分
解得 故存在點Q，當CQ=時，點A到平面EFQ的距離為0.8. ……………………… 14分
解法二：建立如圖所示的空間直角坐標系A－xyz，則A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0），
（Ⅰ） …………1分
設， 即，
……………3分
，∴PB∥平面EFG. ………………………………………………………… 4分
（Ⅱ）∵, …………………………………………5分
， ……………………… 8分
故異面直線EG與BD所成的角為arcos. …………………………………… 9分
（Ⅲ）假設線段CD上存在一點Q滿足題設條件，令
∴點Q的坐標為（2－m，2，0）， ……………………………………10分
而， 設平面EFQ的法向量為，則
令， ……………………………………………………12分
又， ∴點A到平面EFQ的距離，……13分
即，不合題意，舍去.
故存在點Q，當CQ=時，點A到平面EFQ的距離為0.8. ……………………14分
20． (Ⅰ)， ………………2分
當時，， …………4分
（Ⅱ）是單調增函數； ………………6分
由是單調減函數； ………………8分
（Ⅲ）是偶函數，對任意都有成立
對任意都有成立
1°由（Ⅱ）知當或時，是定義域上的單調函數，
時，對任意都有成立 …………10分
2°當時，，由
上是單調增函數在上是單調減函數，∴對任意都有
時，對任意都有成立 ………………12分
綜上可知，當時，對任意都有成立 .……14分
21、（Ⅰ）設等差數列{}的公差是，則，解得
所以 ……………………………………2分
由=－1＜0
得適合條件①；又，所以當=4或5時，取得最大值20，即≤20，適合條件②。綜上所述， …………………………………………4分
（Ⅱ）因為，所以當n≥3時，，此時數列單調遞減；當=1，2時，，即
因此數列中的最大項是，所以≥7………………………………………………………8分
（Ⅲ）假設存在正整數，使得成立，
由數列的各項均為正整數，可得 ……………10分
因為 ……11分
由 …13分
因為
依次類推，可得 ……………………………………………15分
又存在，使，總有，故有，這與數列（）的各項均為正整數矛盾！
所以假設不成立，即對于任意,都有成立. ………………………16分
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在一次試驗中發(fā)生的概率是
，那么
次獨立重復試驗中恰好發(fā)生
次的概率
，
，則集合
的真子集個數為 （ ）
內是增函數，條件q：
，則p是q成立的（ ） 
的圖象沿向量
平移，使所得的圖象關于
軸對稱，則
的最小值是
（ ）
B 
C 
D 
的一條斜線的平面
與平面
的前
項和為
，且
，則
（ ）
B 
C 
D 
的展開式中含有
的項， 則n的一個可能值是
( )
滿足約束條件
，則目標函數
的最大值為( )
B
C
D 
的平面角為
,
，
，
為垂足，設
，
，
的距離分別為
、
的軌跡是
( )
，正實數a、b、c成公差為正數的等差數列，且滿足
，若實數d 是方程
的一個解，那么下列四個判斷：①
；②
；③
；④
中有可能成立的個數為 ( )
，其中
，且
，則實數對
表示平面上不同點的個數為
( )
個
B
個
C
個
D
個
在區(qū)間
內存在極值，則實數
的取值范圍為 ▲ 。
、
滿足：|
，又
=x
，
，則點
的集合所表示的圖形面積為 ▲ 。 
上的點
與
（i=1,2,3）關于x軸對稱，且
為該橢圓的一個焦點，則
▲ 。 
相切，其中m、
，試寫出所有滿足條件的有序實數對(m，n)： ▲ 。 
，且滿足
。
的值；
的值。
：
的左、右焦點分別為
，
的最小值為
，過
作垂直于橢圓長軸的弦長為3．
兩點，求
的取值范圍．
如圖，平面PAD⊥平面ABCD，ABCD為正方形，△PAD是直角三角形，且PA=AD=2，E、F、G分別是線段PA、PD、CD的中點。
，函數
在區(qū)間[0，2]的最值；
在區(qū)間[－2，2]上是單調函數，求t的取值范圍；
恒成立，若存在，請求出t，若不存在請說明理由.
是滿足下列兩個條件的無窮數列
的集合：
②
是與
是其前n項的和，
，證明：
；
的通項為
，求
的各項均為正整數，且
，試證
。
13．
14．30 15． 
16．（1，1），（2，2），（3，4），（4，8）
， ①
…………………2分
， ∴
②
……………… 4分
…………………………………………………………… 6分
……………………………………… 8分
…………………………………………………………………… 10分
…………………………………………………………………………12分
，則
，
，
，又
，
，∴橢圓的方程為：
…………………………………………7分
直線
的斜率不存在時，點
，則
；
，
，由
得：
…………………………………………10分
……13分
……………………………………………………14分
面EFG，PB
平面EFG，
，
，又GM=
，………………7分
………………8分
，
………………………………9分
，則
，
…………………………13分
故存在點Q，當CQ=
時，點A到平面EFQ的距離為0.8. ……………………… 14分
…………1分
， 即
，
……………3分
，∴PB∥平面EFG. ………………………………………………………… 4分
,
…………………………………………5分
，
……………………… 8分
……………………………………10分
， 設平面EFQ的法向量為
，則
， ……………………………………………………12分
， ∴點A到平面EFQ的距離
，……13分
，
不合題意，舍去.
，
………………2分
時，
， …………4分
是單調增函數； ………………6分
是單調減函數； ………………8分
是偶函數，對任意
都有
成立
對任意
或
時，
是定義域上的單調函數，
時，對任意
時，
，由
上是單調增函數
在上是單調減函數，∴對任意
時，對任意
時，對任意
}的公差是
，則
，解得
……………………………………2分
=－1＜0
適合條件①；又
，所以當
取得最大值20，即
…………………………………………4分
，所以當n≥3時，
，此時數列
單調遞減；當
，即
，所以
≥7………………………………………………………8分
成立，
的各項均為正整數，可得
……………10分
……11分
…13分
……………………………………………15分
，總有
，故有
，這與數列（
）的各項均為正整數矛盾！
,都有
成立. ………………………16分