5.已知|p|=,|q|=3, p與q的夾角為,則以a=5p+2q,b=p－3q為鄰邊的平行四邊形的一條對(duì)角線長(zhǎng)為　 (　　 )

A.15　　　　　　　 B.　　　　　　　 C. 16　　　 　　　　D.14

4.化簡(jiǎn)(a－b)－(2a+4b)+(2a+13b)的結(jié)果是　　 (　　 )

A.ab　　　　 B.0　 　　　　　　　　C. a+b　　　　 D. a－b

3. △ABC中,=a, =b,則等于　　　　　 (　　 )

A.a+b　　　　　　 B.-(a+b)　　　　　　 C.a-b　　　　　　　 D.b-a

2.與a=(4，5)垂直的向量是　　 (　　 　)

A.(-5k,4k)　　　 B. (-10，2)　　　　 C. ()　　　　　 D.(5k, -4k)

1. 若A(2，-1)，B(-1，3)，則的坐標(biāo)是　　　 (　　 )

A.(1，2)　　　　 B.(-3，4)　　　　 C. (3，-4)　　　　 D. 以上都不對(duì)

常用的抽樣方法及它們之間的聯(lián)系和區(qū)別：

不放回抽樣和放回抽樣：在抽樣中，如果每次抽出個(gè)體后不再將它放回總體，稱這樣的抽樣為不放回抽樣；如果每次抽出個(gè)體后再將它放回總體，稱這樣的抽樣為放回抽樣。

隨機(jī)抽樣、系統(tǒng)抽樣、分層抽樣都是不放回抽樣

題型1：統(tǒng)計(jì)概念及簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣

例1．為調(diào)查參加運(yùn)動(dòng)會(huì)的1000名運(yùn)動(dòng)員的年齡情況，從中抽查了100名運(yùn)動(dòng)員的年齡，就這個(gè)問題來說，下列說法正確的是(　 )

A．1000名運(yùn)動(dòng)員是總體　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B．每個(gè)運(yùn)動(dòng)員是個(gè)體

C．抽取的100名運(yùn)動(dòng)員是樣本　　　　　　　　　　　　　　　 D．樣本容量是100

解析：這個(gè)問題我們研究的是運(yùn)動(dòng)員的年齡情況，因此應(yīng)選D。

答案：D

點(diǎn)評(píng)：該題屬于易錯(cuò)題，一定要區(qū)分開總體與總體容量、樣本與樣本容量等概念。

例2．今用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣從含有6個(gè)個(gè)體的總體中抽取一個(gè)容量為2的樣本。問：① 總體中的某一個(gè)體在第一次抽取時(shí)被抽到的概率是多少?② 個(gè)體不是在第1次未被抽到，而是在第2次被抽到的概率是多少?③ 在整個(gè)抽樣過程中，個(gè)體被抽到的概率是多少?

解析：(1)，(2)，(3)。

點(diǎn)評(píng)：由問題(1)的解答，出示簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的定義，問題( 2 )是本講難點(diǎn)。基于此，簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣體現(xiàn)了抽樣的客觀性與公平性

題型2：系統(tǒng)抽樣

例3．為了了解參加某種知識(shí)競(jìng)賽的1003名學(xué)生的成績(jī)，請(qǐng)用系統(tǒng)抽樣抽取一個(gè)容量為50的樣本。

解析：(1)隨機(jī)地將這1003個(gè)個(gè)體編號(hào)為1，2，3，…，1003．

(2)利用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣，先從總體中剔除3個(gè)個(gè)體(可利用隨機(jī)數(shù)表)，剩下的個(gè)體數(shù)1000能被樣本容量50整除，然后再按系統(tǒng)抽樣的方法進(jìn)行．

點(diǎn)評(píng)：總體中的每個(gè)個(gè)體被剔除的概率相等，也就是每個(gè)個(gè)體不被剔除的概率相等.采用系統(tǒng)抽樣時(shí)每個(gè)個(gè)體被抽取的概率都是，所以在整個(gè)抽樣過程中每個(gè)個(gè)體被抽取的概率仍然相等，都是。

例4．(2008年湖南理，15)

.對(duì)有n(n≥4)個(gè)元素的總體進(jìn)行抽樣，先將總體分成兩個(gè)子總體

和 (m是給定的正整數(shù)，且2≤m≤n-2),再從

每個(gè)子總體中各隨機(jī)抽取2個(gè)元素組成樣本.用表示元素i和j同時(shí)出現(xiàn)在樣

本中的概率，則=　　　　　 ; 所有 (1≤i＜j≤的和等于　　　　　 .

[答案]　 ,　 6

[解析]第二空可分:

①當(dāng) 時(shí), ;

②當(dāng) 時(shí), ;

③當(dāng)時(shí), ;

所以

點(diǎn)評(píng)：當(dāng)總體中個(gè)體個(gè)數(shù)較多而差異又不大時(shí)可采用系統(tǒng)抽樣。采用系統(tǒng)抽樣在每小組內(nèi)抽取時(shí)應(yīng)按規(guī)則進(jìn)行

(2009年廣東卷文)(本小題滿分13分)

隨機(jī)抽取某中學(xué)甲乙兩班各10名同學(xué),測(cè)量他們的身高(單位:cm),獲得身高數(shù)據(jù)的莖葉圖

如圖7.

(1)根據(jù)莖葉圖判斷哪個(gè)班的平均身高較高;

(2)計(jì)算甲班的樣本方差

(3)現(xiàn)從乙班這10名同學(xué)中隨機(jī)抽取兩名身高不低于

173cm的同學(xué),求身高為176cm的同學(xué)被抽中的概率.

解析　 (1)由莖葉圖可知：甲班身高集中于

之間，而乙班身高集中于 之間。因此乙班平

均身高高于甲班;

　　 (2)

　　 甲班的樣本方差為

　 ＝57

　 (3)設(shè)身高為176cm的同學(xué)被抽中的事件為A；

　 從乙班10名同學(xué)中抽中兩名身高不低于173cm的同學(xué)有：(181，173)　 (181，176)

　 (181，178) (181，179) (179，173) (179，176) (179，178)　 (178，173)

　 　(178,　 176)　　 (176，173)共10個(gè)基本事件，而事件A含有4個(gè)基本事件；

　　 　　；

題型3：分層抽樣

例5．(2009全國卷Ⅱ文)(本小題滿分12分)某車間甲組有10名工人，其中有4名女工人；

乙組有10名工人，其中有6名女工人�，F(xiàn)采用分層抽樣(層內(nèi)采用不放回簡(jiǎn)單隨即抽樣)從甲、乙兩組中共抽取4名工人進(jìn)行技術(shù)考核

(1)求從甲、乙兩組各抽取的人數(shù)；

(2)求從甲組抽取的工人中恰有1名女工人的概率；

(3)求抽取的4名工人中恰有2名男工人的概率 　　

解析　 本題考查概率統(tǒng)計(jì)知識(shí)，要求有正確理解分層抽樣的方法及利用分類原理處理事件概率的能力，第一問直接利用分層統(tǒng)計(jì)原理即可得人數(shù)，第二問注意要用組合公式得出概率，第三問關(guān)鍵是理解清楚題意以及恰有2名男工人的具體含義，從而正確分類求概率.

解 (1)由于甲、乙兩組各有10名工人，根據(jù)分層抽樣原理，要從甲、乙兩組中共抽

取4名工人進(jìn)行技術(shù)考核，則從每組各抽取2名工人.

(2)記表示事件：從甲組抽取的工人中恰有1名女工人，則　 　

(3)表示事件：從甲組抽取的2名工人中恰有名男工人，

表示事件：從乙組抽取的2名工人中恰有名男工人，

　表示事件：抽取的4名工人中恰有2名男工人。 　　

　與獨(dú)立， ，且

故

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查分層抽樣的概念和運(yùn)算，以及運(yùn)用統(tǒng)計(jì)知識(shí)解決實(shí)際問題的能力。

例6．甲校有3600名學(xué)生，乙校有5400名學(xué)生，丙校有1800名學(xué)生，為統(tǒng)計(jì)三校學(xué)生某方面的情況，計(jì)劃采用分層抽樣法，抽取一個(gè)樣本容量為90人的樣本，應(yīng)在這三校分別抽取學(xué)生(　 )

A．30人，30人，30人　　 B．30人，45人，15人

C．20人，30人，10人　　 D．30人，50人，10人

解析：B；

點(diǎn)評(píng)：根據(jù)樣本容量和總體容量確定抽樣比，最終得到每層中學(xué)生人數(shù)。

題型4：綜合問題

例7．(1)某公司在甲、乙、丙、丁四個(gè)地區(qū)分別有150個(gè)、120個(gè)、180個(gè)、150個(gè)銷售點(diǎn).公司為了調(diào)查產(chǎn)品銷售的情況，需從這600個(gè)銷售點(diǎn)中抽取一個(gè)容量為100的樣本，記這項(xiàng)調(diào)查為①；在丙地區(qū)中有20個(gè)特大型銷售點(diǎn)，要從中抽取7個(gè)調(diào)查其銷售收入和售后服務(wù)情況，記這項(xiàng)調(diào)查為②.則完成①、②這兩項(xiàng)調(diào)查宜采用的抽樣方法依次是

A．分層抽樣法，系統(tǒng)抽樣法　　　　　　　　　　　　　　　　　 B．分層抽樣法，簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣法

C．系統(tǒng)抽樣法，分層抽樣法　　　　　　　　　　　　　　　　　 D．簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣法，分層抽樣法

分析：此題為抽樣方法的選取問題.當(dāng)總體中個(gè)體較多時(shí)宜采用系統(tǒng)抽樣；當(dāng)總體中的個(gè)體差異較大時(shí)，宜采用分層抽樣；當(dāng)總體中個(gè)體較少時(shí)，宜采用隨機(jī)抽樣.

依據(jù)題意，第①項(xiàng)調(diào)查應(yīng)采用分層抽樣法、第②項(xiàng)調(diào)查應(yīng)采用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣法.故選B.

答案：B

(2)某初級(jí)中學(xué)有學(xué)生270人，其中一年級(jí)108人，二、三年級(jí)各81人，現(xiàn)要利用抽樣方法抽取10人參加某項(xiàng)調(diào)查，考慮選用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣、分層抽樣和系統(tǒng)抽樣三種方案，使用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣和分層抽樣時(shí)，將學(xué)生按一、二、三年級(jí)依次統(tǒng)一編號(hào)為1，2，…，270；使用系統(tǒng)抽樣時(shí)，將學(xué)生統(tǒng)一隨機(jī)編號(hào)1，2，…，270，并將整個(gè)編號(hào)依次分為10段.如果抽得號(hào)碼有下列四種情況：

　　　　 ①7，34，61，88，115，142，169，196，223，250；

　　　　 ②5，9，100，107，111，121，180，195，200，265；

　　　　 ③11，38，65，92，119，146，173，200，227，254；

　　　　 ④30，57，84，111，138，165，192，219，246，270；

　　　　 關(guān)于上述樣本的下列結(jié)論中，正確的是　　 ( 　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　　　 A．②、③都不能為系統(tǒng)抽樣　　　　　　　　　　　　 B．②、④都不能為分層抽樣

C．①、④都可能為系統(tǒng)抽樣　　　 D．①、③都可能為分層抽樣

解析：D。

點(diǎn)評(píng)：采用什么樣的抽樣方法要依據(jù)研究的總體中的個(gè)體情況來定。

3．分層抽樣：當(dāng)已知總體由差異明顯的幾部分組成時(shí)，常將總體分成幾部分，然后按照各部分所占的比進(jìn)行抽樣，這種抽樣叫做分層抽樣，其中所分成的各部分叫做層

結(jié)論：

(1)分層抽樣是等概率抽樣，它也是公平的。用分層抽樣從個(gè)體數(shù)為N的總體中抽取一個(gè)容量為的樣本時(shí)，在整個(gè)抽樣過程中每個(gè)個(gè)體被抽到的概率相等，都等于；

(2)分層抽樣是建立在簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣或系統(tǒng)抽樣的基礎(chǔ)上的，由于它充分利用了已知信息，因此利用它獲取的樣本更具有代表性，在實(shí)踐的應(yīng)用更為廣泛

2．系統(tǒng)抽樣：當(dāng)總體中的個(gè)數(shù)較多時(shí)，可將總體分成均衡的幾個(gè)部分，然后按照預(yù)先定出的規(guī)則，從每一部分抽取1個(gè)個(gè)體，得到所需要的樣本，這種抽樣叫做系統(tǒng)抽樣(也稱為機(jī)械抽樣)。

系統(tǒng)抽樣的步驟可概括為：

(1)將總體中的個(gè)體編號(hào)。采用隨機(jī)的方式將總體中的個(gè)體編號(hào)；

(2)將整個(gè)的編號(hào)進(jìn)行分段。為將整個(gè)的編號(hào)進(jìn)行分段，要確定分段的間隔.當(dāng)是整數(shù)時(shí)，；當(dāng)不是整數(shù)時(shí)，通過從總體中剔除一些個(gè)體使剩下的個(gè)體數(shù)N´能被整除，這時(shí)；

(3)確定起始的個(gè)體編號(hào)。在第1段用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣確定起始的個(gè)體邊號(hào)；

(4)抽取樣本。按照先確定的規(guī)則(常將加上間隔)抽取樣本：。

三種常用抽樣方法：

1．簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣：設(shè)一個(gè)總體的個(gè)數(shù)為N。如果通過逐個(gè)抽取的方法從中抽取一個(gè)樣本，且每次抽取時(shí)各個(gè)個(gè)體被抽到的概率相等，就稱這樣的抽樣為簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣。實(shí)現(xiàn)簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣，常用抽簽法和隨機(jī)數(shù)表法

(1)抽簽法

制簽：先將總體中的所有個(gè)體編號(hào)(號(hào)碼可以從1到N)，并把號(hào)碼寫在形狀、大小相同的號(hào)簽上，號(hào)簽可以用小球、卡片、紙條等制作，然后將這些號(hào)簽放在同一個(gè)箱子里，進(jìn)行均勻攪拌；

抽簽：抽簽時(shí)，每次從中抽出1個(gè)號(hào)簽，連續(xù)抽取次；

成樣：對(duì)應(yīng)號(hào)簽就得到一個(gè)容量為的樣本。

抽簽法簡(jiǎn)便易行，當(dāng)總體的個(gè)體數(shù)不多時(shí)，適宜采用這種方法

(2)隨機(jī)數(shù)表法

編號(hào)：對(duì)總體進(jìn)行編號(hào)，保證位數(shù)一致；

數(shù)數(shù)：當(dāng)隨機(jī)地選定開始讀數(shù)的數(shù)后，讀數(shù)的方向可以向右，也可以向左、向上、向下等等。在讀數(shù)過程中，得到一串?dāng)?shù)字號(hào)碼，在去掉其中不合要求和與前面重復(fù)的號(hào)碼后，其中依次出現(xiàn)的號(hào)碼可以看成是依次從總體中抽取的各個(gè)個(gè)體的號(hào)碼。

成樣：對(duì)應(yīng)號(hào)簽就得到一個(gè)容量為的樣本

結(jié)論：

　 ① 用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣，從含有N個(gè)個(gè)體的總體中抽取一個(gè)容量為的樣本時(shí)，每次抽取一個(gè)個(gè)體時(shí)任一個(gè)體被抽到的概率為；在整個(gè)抽樣過程中各個(gè)個(gè)體被抽到的概率為；

② 基于此，簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣體現(xiàn)了抽樣的客觀性與公平性；

③ 簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的特點(diǎn)：它是不放回抽樣；它是逐個(gè)地進(jìn)行抽取；它是一種等概率抽樣。