3．空間向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算律：(1)若，，

則，，

，，

　，．

(2)若，，則．

一個(gè)向量在直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)等于表示這個(gè)向量的有向線(xiàn)段的終點(diǎn)的坐標(biāo)減去起點(diǎn)的坐標(biāo)

4 模長(zhǎng)公式：若， 則．

1 空間直角坐標(biāo)系：(1)若空間的一個(gè)基底的三個(gè)基向量互相垂直，且長(zhǎng)為，這個(gè)基底叫單位正交基底，用表示；(2)在空間選定一點(diǎn)和一個(gè)單位正交基底，以點(diǎn)為原點(diǎn)，分別以的方向?yàn)檎�方向建立三條數(shù)軸：軸、軸、軸，它們都叫坐標(biāo)軸．我們稱(chēng)建立了一個(gè)空間直角坐標(biāo)系，點(diǎn)叫原點(diǎn)，向量 都叫坐標(biāo)向量．通過(guò)每?jī)蓚�(gè)坐標(biāo)軸的平面叫坐標(biāo)平面，分別稱(chēng)為平面，平面，平面；

2．空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)： 在空間直角坐標(biāo)系中，對(duì)空間任一點(diǎn)，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組，使，有序?qū)崝?shù)組叫作向量在空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，記作，叫橫坐標(biāo)，叫縱坐標(biāo)，叫豎坐標(biāo)．

5．在△ABC中，已知＝，判定△ABC是什么三角形。

※§8.3空間向量及其運(yùn)算　 　　

4．在△ABC中，已知B＝30°，b＝50，c＝150，解三角形并判斷三角形的形狀�！　　　　　　　　　� 　　　　　　

3．某人在C點(diǎn)測(cè)得塔頂A在南偏西80°，仰角為45°，此人沿南偏東40°方向前進(jìn)10米到0，測(cè)得塔頂A仰角為30°，則塔高＝　　　　　。

2.△ABC中，若邊a：b：c＝：(1+)：2，則內(nèi)角A＝　　　　　 。

1．已知銳角三角形的邊長(zhǎng)分別為2，3，x，則第三邊x的取值范圍是(　 )

A．1＜x＜5　　B．＜x＜　 C．＜x＜5　 　 D．1＜x＜

2．由于本節(jié)內(nèi)容與代數(shù)、幾何聯(lián)系比較緊，故讀者需對(duì)解斜三角形、解析幾何中的圓錐曲線(xiàn)等知識(shí)非常熟悉方可。

三　 經(jīng)典例題導(dǎo)講

[例1]在A(yíng)BC中，已知a²＝b²+bc+c²，則角A為(　)

A． 　　B．　C．　　D．或

錯(cuò)解：選A

錯(cuò)因：公式記不牢，誤將余弦定理中的“減”記作“加”。

正解：∵a²＝b²+bc+c²＝b²+c²－2bc(－)＝b²+c²－2bc·cos

　∴∠A＝

　選　C.

[例2]在△ABC中，已知，試判別其形狀。

錯(cuò)解：等腰三角形。

錯(cuò)因：忽視了兩角互補(bǔ)，正弦值也相等的情形。直接由得，，即，則。接著下結(jié)論，所求三角形為等腰三角形

正解：由得，，即

　　　 則或，故三角形為直角三角形或等腰三角形。

[例3]過(guò)拋物線(xiàn):y²=2px(p>0)頂點(diǎn)O作兩條互相垂直的弦OA、OB(如圖),求證:直線(xiàn)AB過(guò)一定點(diǎn),并求出這一定點(diǎn).

分析: 對(duì)于向量a=(x₁,y₁),b=(x₂,y₂),有a//bx₁y₂-x₂y₁=0.可以用來(lái)處理解析幾何中的三點(diǎn)共線(xiàn)與兩直線(xiàn)平行問(wèn)題.

證明:由題意知可設(shè)A點(diǎn)坐標(biāo)為(,t₁),B點(diǎn)坐標(biāo)為(,t₂)　

∴=(,t₁), =(,t₂),

∵OA⊥OB,∴•=0•+t₁•t₂=0

t₁•t₂=-4p² ①

設(shè)直線(xiàn)AB過(guò)點(diǎn)M(a,b),則=(a-,b-t₂),=(-,t₁-t₂),

由于向量與是共線(xiàn)向量,∴(a-)(t₁-t₂)= (b-t₂)(-)

化簡(jiǎn)得2p(a-2p)=b(t₁+t₂)

　顯然當(dāng)a=2p,b=0時(shí)等式對(duì)任意的成立

∴直線(xiàn)AB過(guò)定點(diǎn),且定點(diǎn)坐標(biāo)為M(2p,0)

四　 典型習(xí)題導(dǎo)練

1．初中學(xué)過(guò)的勾股定理只是余弦定理的一種特殊情況。如當(dāng)=時(shí)，=0，此時(shí)有；

2.正弦定理 在一個(gè)三角形中，各邊和它所對(duì)角的正弦的比相等，并且都等于外接圓的直徑，即