1.余弦定理：三角形任何一邊的平方等于其他兩邊平方的和，減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的2倍,即

[例1] 和= (3,－4)平行的單位向量是_________；

錯(cuò)解：因?yàn)?sub>的模等于5，所以與平行的單位向量就是，即 (，－)

錯(cuò)因：在求解平行向量時(shí)沒(méi)有考慮到方向相反的情況。

正解：因?yàn)?sub>的模等于5，所以與平行的單位向量是，即(，－)或(－，)

點(diǎn)評(píng)：平行的情況有方向相同和方向相反兩種。讀者可以自己再求解“和= (3,－4)垂直的單位向量”，結(jié)果也應(yīng)該是兩個(gè)。

[例2]已知A(2，1)，B(3，2)，C(-1，4)，若A、B、C是平行四邊形的三個(gè)頂點(diǎn)，求第四個(gè)頂點(diǎn)D的坐標(biāo)。

錯(cuò)解：設(shè)D的坐標(biāo)為(x，y)，則有x-2=-1-3，y-1=4-2 ，即x=-2，y=3。故所求D的坐標(biāo)為(-2，3)。

錯(cuò)因：思維定勢(shì)。習(xí)慣上，我們認(rèn)為平行四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)是按照ABCD的順序。其實(shí)，在這個(gè)題目中，根本就沒(méi)有指出四邊形ABCD。因此，還需要分類(lèi)討論。

正解：設(shè)D的坐標(biāo)為(x，y)

當(dāng)四邊形為平行四邊形ABCD時(shí)，有x-2=-1-3，y-1= 4-2 ，即x= -2，y= 3。解得D的坐標(biāo)為(-2，3)；

當(dāng)四邊形為平行四邊形ADBC時(shí)，有x-2=3-(-1)，y-1= 2-4 ，即x= 6，y= -1。解得D的坐標(biāo)為(6，-1)；

當(dāng)四邊形為平行四邊形ABDC時(shí)，有x-3=-1-2，y-2= 4-1 ，即x= 0，y= 5。解得D的坐標(biāo)為(0，5)。

故第四個(gè)頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為(-2，3)或(6，-1)或(0，5)。

[例3]已知P₁(3,2)，P₂(8，3)，若點(diǎn)P在直線P₁P₂上，且滿足|P₁P|=2|PP₂|，求點(diǎn)P的坐標(biāo)。

錯(cuò)解：由|P₁P|=2|PP₂|得，點(diǎn)P 分P₁P₂所成的比為2，代入定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式得P()

錯(cuò)因：對(duì)于|P₁P|=2|PP₂|這個(gè)等式，它所包含的不僅是點(diǎn)P為 P₁，P₂ 的內(nèi)分點(diǎn)這一種情況，還有點(diǎn)P是 P₁，P₂的外分點(diǎn)。故須分情況討論。

正解：當(dāng)點(diǎn)P為 P₁，P₂ 的內(nèi)分點(diǎn)時(shí)，P 分P₁P₂所成的比為2，此時(shí)解得P()；

　　　 當(dāng)點(diǎn)P為 P₁，P₂ 的外分點(diǎn)時(shí)，P 分P₁P₂所成的比為-2，此時(shí)解得P(13，4)。

　　　 則所求點(diǎn)P的坐標(biāo)為()或(13，4)。

點(diǎn)評(píng)：在運(yùn)用定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式時(shí)，要審清題意，注意內(nèi)外分點(diǎn)的情況。也就是分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想。

[例4] 設(shè)向量 ，，，則“”是“”的

　 A.充分不必要條件　　　　　　　　 B.必要不充分條件

　 C.充要條件　　　　　　　　　　　 D.既不充分也不必要條件

分析：根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算和充要條件的意義進(jìn)行演算即可．

解：若，∵，則，代入坐標(biāo)得：，即且 _．消去，得；

反之，若，則且，即

　 則，∴

　 故“”是“ ”的充要條件．

答案：C

點(diǎn)評(píng)：本題意在鞏固向量平行的坐標(biāo)表示．

[例5]．已知=(1，-1)，=(-1，3)，=(3，5)，求實(shí)數(shù)x、y，使=x +y ．

分析：根據(jù)向量坐標(biāo)運(yùn)算和待定系數(shù)法，用方程思想求解即可．

解：由題意有

　　 x +y =x(1，-1)+y(-1，3)=(x-y，-x+3y)．

　　 又 =(3，5)

　　 ∴x-y=3且-x+3y=5

　　 解之得 x=7 且y=4

點(diǎn)評(píng)：在向量的坐標(biāo)運(yùn)算中經(jīng)常要用到解方程的方法．

[例6]已知A(-1，2)，B(2，8)，= ，= -，求點(diǎn)C、D和向量的坐標(biāo)．

分析：待定系數(shù)法設(shè)定點(diǎn)C、D的坐標(biāo)，再根據(jù)向量 ， 和 關(guān)系進(jìn)行坐標(biāo)運(yùn)算，用方程思想解之．

　解：設(shè)C、D的坐標(biāo)為、，由題意得

　=()，=(3，6)，　=()，=(-3，-6)

　 又= ，= -

　 ∴()=(3，6)， ()=-(-3，-6)

　 即 ()=(1,2) ， ()=(1,2)

　 ∴且，且

　 ∴ 且 ，且

　 ∴點(diǎn)C、D和向量 的坐標(biāo)分別為(0，4)、(-2，0)和(-2，-4)

小結(jié)：本題涉及到方程思想，對(duì)學(xué)生運(yùn)算能力要求較高．

§8.2平面向量與代數(shù)、幾何的綜合應(yīng)用

5．平移公式中首先要知道這個(gè)公式是點(diǎn)的平移公式，故在使用的過(guò)程中須將起始點(diǎn)的坐標(biāo)給出，同時(shí)注意順序。

4．定比分點(diǎn)公式中則要記清哪個(gè)點(diǎn)是分點(diǎn)；還有就是此公式中橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)是分開(kāi)計(jì)算的；

3．對(duì)于坐標(biāo)形式給出的兩個(gè)向量，在運(yùn)用平行與垂直的充要條件時(shí)，一定要區(qū)分好兩個(gè)公式，切不可混淆。因此，建議在記憶時(shí)對(duì)比記憶；

2．在運(yùn)用三角形法則和平行四邊形法則求向量的加減法時(shí)要注意起點(diǎn)和終點(diǎn)；

1．向量的概念的理解，尤其是特殊向量“零向量”

向量是既有大小，又有方向的量．向量的模是正數(shù)或0，是可以進(jìn)行大小比較的，由于方向不能比較大小，所以向量是不能比大小的．兩個(gè)向量的模相等，方向相同，我們稱(chēng)這兩個(gè)向量相等，兩個(gè)零向量是相等的，零向量與任何向量平行，與任何向量都是共線向量；

12.平移公式：

設(shè)P(x，y)是圖形F上的任意一點(diǎn)，它在平移后圖形F^/上對(duì)應(yīng)點(diǎn)為P^/(x^/，y^/)，且設(shè)的坐標(biāo)為(h，k)，則由＝+，得：(x^/，y^/)＝(x，y)+(h，k)

11.平面向量的數(shù)量積

(1)定義：已知兩個(gè)非零向量和，它們的夾角為θ，則數(shù)量||||cosθ叫做與的數(shù)量積(或內(nèi)積)，記作·，即·＝||||cosθ

規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積是0。

(2)幾何意義：數(shù)量積·等于的長(zhǎng)度||與在的方向上的投影||cosθ的乘積。

(3)性質(zhì)：設(shè)，都是非零向量，是與方向相同的單位向量，θ是與的夾角，則·＝·＝||cosθ　，⊥·＝0

　 當(dāng)與同向時(shí)，·＝||||

　當(dāng)與反向時(shí)，·＝－||||

　 特別地，·＝||²或||＝

　　 cosθ＝　　 |·|≤||||

(4)運(yùn)算律：

　 ·＝· (交換律)

　 　(λ)·＝λ(·)＝·(λ)

　 　(+)·＝·+·

(5)平面向量垂直的坐標(biāo)表示的充要條件：

設(shè)=(x₁ ,y₁), = (x₂,y₂)，則

·=||·||cos90°=0

x₁x₂+y₁y₂=0

10.定比分點(diǎn)

設(shè)P₁，P₂是直線l上的兩點(diǎn)，點(diǎn)P是不同于P₁，P₂的任意一點(diǎn)則存在一個(gè)實(shí)數(shù)λ,使=λ，λ叫做分有向線段所成的比。若點(diǎn)P₁、P、P₂的坐標(biāo)分別為(x₁，y₁)，(x,y)，(x₂,y₂)，則有

特別當(dāng)λ=1，即當(dāng)點(diǎn)P是線段P₁P₂的中點(diǎn)時(shí)，有