3．(2009年山東卷)設(shè)P是△ABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，+＝2，則

(　)

A.+＝0　 　　　　　　　　　 B.+＝0

C.+＝0　 　　　　　　　　　 D.++＝0

[解析]　因?yàn)?＝2，

所以點(diǎn)P為線段AC的中點(diǎn)，故選B.

[答案]　B

2．在四邊形ABCD中，＝a+2b，＝－4a－b，＝－5a－3b，則四邊形ABCD的形狀是

(　)

A．矩形　 　　　　　　　　　　　　　 B．平行四邊形

C．梯形　 　　　　　　　　　　　　　 D．以上都不對(duì)

[解析]　由已知＝++＝－8a－2b＝2(－4a－b)＝2.

∴∥，又與不平行，

∴四邊形ABCD是梯形．

[答案]　C

1．下列等式不正確的是

(　)

A．a+0＝a　　　　 B．a+b＝b+a

C.+≠0　 　　　　　　　　　 D.＝++

[解析]　解法1：∵與為相反向量，

∴+＝0，∴C不正確．

解法2：+＝(－)+(－)

＝－－+＝0.∴C不正確．

[答案]　C

23．(本小題滿分10分)

一個(gè)袋中裝有黑球，白球和紅球共n()個(gè)，這些球除顏色外完全相同．已知從袋中任意摸出1個(gè)球，得到黑球的概率是．現(xiàn)從袋中任意摸出2個(gè)球．

(1)若n=15，且摸出的2個(gè)球中至少有1個(gè)白球的概率是，設(shè)表示摸出的2個(gè)球中紅球的個(gè)數(shù),求隨機(jī)變量的概率分布及數(shù)學(xué)期望；

(2)當(dāng)n取何值時(shí)，摸出的2個(gè)球中至少有1個(gè)黑球的概率最大，最大概率為多少?

22． (本小題滿分10分)

如圖，在直三棱柱中，，AB=AC=a，，點(diǎn)E，F分別在棱，上，且，．設(shè)．

　 (1)當(dāng)=3時(shí)，求異面直線與所成角的大小；

(2)當(dāng)平面⊥平面時(shí)，求的值．

21．[選做題]在A、B、C、D 四小題中只能選做兩題，每小題10分，共計(jì)20分．請(qǐng)?jiān)?u>答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．

A．選修4-1：幾何證明選講

如圖，在梯形中，∥BC，點(diǎn)，分別在邊，上，設(shè)與相交于點(diǎn)，若，，，四點(diǎn)共圓，求證：．

B．選修4-2：矩陣與變換

已知矩陣=，求的特征值，及對(duì)應(yīng)的特征向量．

C．選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程

　 已知曲線的方程，設(shè)，為參數(shù)，求曲線的參數(shù)方程．

D．選修4-5：不等式選講

設(shè)實(shí)數(shù)滿足，求的最小值，并求此時(shí)的值．

[必做題]第22題、第23題，每題10分，共計(jì)20分．請(qǐng)?jiān)?u>答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．

20． [解]：(1)當(dāng)時(shí)，

　　　　　　　 …………(2分)

當(dāng)時(shí)，，在內(nèi)單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，恒成立，故在內(nèi)單調(diào)遞增；

的單調(diào)增區(qū)間為。　　　　　　　　　　　　　　　 …………(6分)

(2)①當(dāng)時(shí)，，

，恒成立，在上增函數(shù)。

故當(dāng)時(shí)，。　　　　　　　　　　　　　　 …………8分)　

②當(dāng)時(shí)，，

(Ⅰ)當(dāng)，即時(shí)，在時(shí)為正數(shù)，所以在區(qū)間上為增函數(shù)。故當(dāng)時(shí)，，且此時(shí)　　　　　 …………(10分)　　　　　

(Ⅱ)當(dāng)，即時(shí)，在時(shí)為負(fù)數(shù)，在時(shí)為正數(shù)，所以在區(qū)間上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)。故當(dāng)時(shí)，，且此時(shí)。　　　　　　　　　　　　 …………(12分)

(Ⅲ)當(dāng)，即時(shí)，在進(jìn)為負(fù)數(shù)，所以在區(qū)間上為減函數(shù)，故當(dāng)時(shí)，。　　　　　　　　　　　　　 …………(14分)

所以函數(shù)的最小值為。

由條件得此時(shí)；或，此時(shí)；或，此時(shí)無(wú)解。

綜上，�！　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　� …………(16分)

數(shù)學(xué)Ⅱ(附加題)

20．(本小題滿分16分)設(shè)，函數(shù).

(Ⅰ)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；

(Ⅱ)若時(shí)，不等式恒成立，實(shí)數(shù)的取值范圍.．

19．(本小題滿分16分)

在一個(gè)特定時(shí)段內(nèi)，以點(diǎn)E為中心的7海里以內(nèi)海域被設(shè)為警戒水域.點(diǎn)E正北55海里處有一個(gè)雷達(dá)觀測(cè)站A.某時(shí)刻測(cè)得一艘勻速直線行駛的船只位于點(diǎn)A北偏東且與點(diǎn)A相距40海里的位置B，經(jīng)過(guò)40分鐘又測(cè)得該船已行駛到點(diǎn)A北偏東+(其中sin=，)且與點(diǎn)A相距10海里的位置C.

(1)求該船的行駛速度(單位：海里/時(shí));

(I2)若該船不改變航行方向繼續(xù)行駛.判斷它是否會(huì)進(jìn)入警戒水域，并說(shuō)明理由.

19解　 (1)如圖，AB=40，AC=10，

由于0<<,所以cos=……………………………2分

由余弦定理得BC=……………………6分

所以船的行駛速度為(海里/小時(shí)).　 　……………………………8分

(2)解法一　 如圖所示，以A為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)B、C的坐標(biāo)分別是

B(x₁，y₂), C(x₁，y₂),BC與x軸的交點(diǎn)為D.

由題設(shè)有，x₁=y₁= AB=40, ……10分

x₂=ACcos.

……12分

所以過(guò)點(diǎn)B、C的直線l的斜率k=,直線l的方程為y=2x-40.

又點(diǎn)E(0，-55)到直線l的距離d=…………15分

所以船會(huì)進(jìn)入警戒水域.　　　　　　　　 ……………………………16 分

　解法二　 如圖所示，設(shè)直線AE與BC的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)Q.在△ABC中，

由余弦定理得，

===.…………10 分

從而

在中，由正弦定理得，

AQ=…………12分

由于AE=55>40=AQ，所以點(diǎn)Q位于點(diǎn)A和點(diǎn)E之間，且QE=AE-AQ=15.過(guò)點(diǎn)E作EPBC于點(diǎn)P，則EP為點(diǎn)E到直線BC的距離.在Rt中，

PE=QE·sin

=　　　　　　　　　 ………………………15 分

所以船會(huì)進(jìn)入警戒水域.　　　　　　　　　　　 ………………………16 分

18． 解：(1)設(shè)點(diǎn)，依題意，有

． 　　　　　　　　　　　　　　　　----------2分

整理，得．

所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程為． 　　　　　　　-------------5分

(3)由題意：設(shè)N,A ，則B

,　　　　　　　　　　　　　 ---------------7分

=＝

　�。�為定值。-----------------------------10分設(shè)

(2)M，則切線MQ的方程為：

由得Q　　　　　　　 ------------12分

，

=　　　　　　　 ----------15分

所以：　即MF與OQ始終保持垂直關(guān)系　　 -------------16分