解：1.讀題：問題涉及耕地面積、糧食單產、人均糧食占有量、總人口數及三個百分率，其中人均糧食占有量P＝，  主要關系是：P≥P .

例1．（1996年全國高考題）某地現有耕地10000公頃，規(guī)劃10年后糧食單產比現有增加22％，人均糧食產量比現在提高10％，如果人口年增長率為1％，那么耕地每年至多只能減少多少公頃（精確到1公頃）？

（糧食單產＝  ；    人均糧食產量＝）

分析：此題以關系國計民生的耕地、人口、糧食為背景，給出兩組數據，要求考生從兩條線索抽象數列模型，然后進行比較與決策.

4．在近幾年高考中，經常涉及的數學模型，有以下一些類型：數列模型、函數模型、不等式模型、三角模型、排列組合模型等等.

Ⅰ．函數模型  函數是中學數學中最重要的一部分內容，現實世界中普遍存在著的最優(yōu)化問題，常常可歸結為函數的最值問題，通過建立相應的目標函數，確定變量的限制條件，運用函數知識和方法去解決.
    ⑴ 根據題意，熟練地建立函數模型；

⑵ 運用函數性質、不等式等知識處理所得的函數模型.

Ⅱ．幾何模型  諸如航行、建橋、測量、人造衛(wèi)星等涉及一定圖形屬性的應用問題，常常需要應用幾何圖形的性質，或用方程、不等式或用三角函數知識來求解.
     Ⅲ．數列模型  在經濟活動中，諸如增長率、降低率、存款復利、分期付款等與年（月）份有關的實際問題，大多可歸結為數列問題，即通過建立相應的數列模型來解決.在解應用題時，是否是數列問題一是看自變量是否與正整數有關；二是看是否符合一定的規(guī)律，可先從特殊的情形入手，再尋找一般的規(guī)律.

3．求解應用題的一般步驟是（四步法）：

（1）、讀題：讀懂和深刻理解，譯為數學語言，找出主要關系；

（2）、建模：把主要關系近似化、形式化，抽象成數學問題；

（3）、求解：化歸為常規(guī)問題，選擇合適的數學方法求解；

（4）、評價：對結果進行驗證或評估，對錯誤加以調節(jié)，最后將結果應用于現實，作出解釋或驗證.

2．應用問題的“考試要求”是考查考生的應用意識和運用數學知識與方法來分析問題解決問題的能力，這個要求分解為三個要點：

（1）、要求考生關心國家大事，了解信息社會，講究聯系實際，重視數學在生產、生活及科學中的應用，明確“數學有用，要用數學”，并積累處理實際問題的經驗.

（2）、考查理解語言的能力，要求考生能夠從普通語言中捕捉信息，將普通語言轉化為數學語言，以數學語言為工具進行數學思維與交流.

（3）、考查建立數學模型的初步能力，并能運用“考試大綱”所規(guī)定的數學知識和方法來求解.

例5．（2004年天津卷理22）橢圓的中心是原點O，它的短軸長為，相應于焦點F（c，0）（）的準線與x軸相交于點A，|OF|=2|FA|，過點A的直線與橢圓相交于P、Q兩點.

  （1）求橢圓的方程及離心率；

（2）若，求直線PQ的方程；

（3）設（），過點P且平行于準線的直線與橢圓相交于另一點M，證明.

分析：本小題主要考查橢圓的標準方程和幾何性質，直線方程，平面向量的計算，曲線和方程的關系等解析幾何的基本思想方法和綜合解題能力.

（1）解：由題意，可設橢圓的方程為.

  由已知得解得

所以橢圓的方程為，離心率.

（2）解：由（1）可得A（3，0）.

設直線PQ的方程為.由方程組

       得

依題意，得.

設，則，   ① .    ②

由直線PQ的方程得.于是

.    ③

∵，∴.    ④

由①②③④得，從而.

所以直線PQ的方程為或

（2）證明：.由已知得方程組

  注意，解得

因，故

.

而，所以.

由于向量具有幾何形式和代數形式的“雙重身份”，使向量與解析幾何之間有著密切聯系，而新課程高考則突出了對向量與解析幾何結合考查，這就要求我們在平時的解析幾何教學與復習中，應抓住時機，有效地滲透向量有關知識，樹立應用向量的意識。應充分挖掘課本素材，在教學中從推導有關公式、定理，例題講解入手，讓學生去品位、去領悟，在公式、定理的探索、形成中逐漸體會向量的工具性，逐漸形成應用向量的意識，在教學中還應注重引導學生善于運用一些問題的結論，加以引申，使之成為解題方法，體會向量解題的優(yōu)越性，在教學中還應注重引導學生善于運用向量方法解題，逐步樹立運用向量知識解題的意識。

例4、（2003年天津）已知常數，向量，經過原點以為方向向量的直線與經過定點以為方向向量的直線相交于點，其中．試問：是否存在兩個定點，使得為定值，若存在，求出的坐標；若不存在，說明理由．

（本小題主要考查平面向量的概念和計算,求軌跡的方法，橢圓的方程和性質，利用方程判定曲線的性質，曲線與方程的關系等解析幾何的基本思想和綜合解題能力.）

解：根據題設條件，首先求出點P坐標滿足的方程，據此再判斷是否存在兩定點，使得點P到兩定點距離的和為定值.

∵，  ∴=（λ，a），=（1，－2λa）.

因此，直線OP和AP的方程分別為   和 .

消去參數λ，得點的坐標滿足方程.

整理得  ……①       因為所以得：

（i）當時，方程①是圓方程，故不存在合乎題意的定點E和F；

   （ii）當時，方程①表示橢圓，焦點和為合乎題意的兩個定點；

   （iii）當時，方程①也表示橢圓，焦點和為合乎題意的兩個定點.

點評：本題以平面向量為載體，考查求軌跡的方法、利用方程判定曲線的性質、曲線與方程的關系等解析幾何的基本思想和綜合解題能力。去掉平面向量的背景，我們不難看到，本題即為下題：

在△OAP中，O（0，0）、A（0，a）為兩個定點，另兩邊OP與AP的斜率分別是，求P的軌跡。

而課本上有一道習題（數學第二冊（上）第96頁練習題4）：

三角形ABC的兩個頂點A、B的坐標分別是（-6，0）、（6，0），邊AC、BC所在直線的斜率之積等于，求頂點C的軌跡方程。通過本例可見高考題目與課本的密切關系。

例3、（2003年天津高考題）O是平面上一定點，A、B、C是平面上不共線的三個點，動點P滿足，，則P的軌跡一定通過△ABC的（  ）

（A）外心      （B）內心     （C）重心     （D）垂心

分析：因為同向的單位向量，由向量加法的平行四邊形則知是與∠ABC的角平分線（射線）同向的一個向量，又，知P點的軌跡是∠ABC的角平分線，從而點P的軌跡一定通過△ABC的內心。

反思：根據本題的結論，我們不難得到求一個角的平分線所在的直線方程的步驟；

（1）       由頂點坐標（含線段端點）或直線方程求得角兩邊的方向向量；

（2）       求出角平分線的方向向量

（3）       由點斜式或點向式得出角平分線方程。{直線的點向式方程：過P（），其方向向量為，其方程為}

例2、已知定點A(-1,0)和B(1,0)，P是圓(x-3)²+(y-4)²=4上的一動點，求的最大值和最小值。

分析：因為O為AB的中點，所以故可利用向量把問題轉化為求向量的最值。

解：設已知圓的圓心為C，由已知可得：

又由中點公式得

所以

             =

             =

             =

又因為 點P在圓(x-3)²+(y-4)²=4上,                                 

所以  且                                                                

所以

即  故

所以的最大值為100，最小值為20。

點評：有些解幾問題雖然沒有直接用向量作為已知條件出現，但如果運用向量知識來解決，也會顯得自然、簡便，而且易入手。