Question

（1）拋物線m₁：y₁=a₁x²+b₁x+c₁中，函數(shù)y₁與自變量x之間的部分對應(yīng)值如表：

x	…	﹣2	﹣1	1	2	4	5	…
y1	…	﹣5	0	4	3	﹣5	﹣12	…

設(shè)拋物線m₁的頂點(diǎn)為P，與y軸的交點(diǎn)為C，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為　　　　　　，點(diǎn)C的坐標(biāo)為　　　　　　．

（2）將設(shè)拋物線m₁沿x軸翻折，得到拋物線m₂：y₂=a₂x²+b₂x+c₂，則當(dāng)x=﹣3時(shí)，y₂=　　　　　　．

（3）在（1）的條件下，將拋物線m₁沿水平方向平移，得到拋物線m₃．設(shè)拋物線m₁與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），拋物線m₃與x軸交于M，N兩點(diǎn)（點(diǎn)M在點(diǎn)N的左側(cè)）．過點(diǎn)C作平行于x軸的直線，交拋物線m₃于點(diǎn)K．問：是否存在以A，C，K，M為頂點(diǎn)的四邊形是菱形的情形？若存在，請求出點(diǎn)K的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

　

Answer 1

【考點(diǎn)】二次函數(shù)綜合題．

【專題】綜合題．

【分析】（1）先利用待定系數(shù)法求出拋物線m₁的解析式為y₁=﹣x²+2x+3，再配成頂點(diǎn)式可得到P點(diǎn)坐標(biāo)，然后計(jì)算自變量為0時(shí)的函數(shù)值即可得到C點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）根據(jù)拋物線的幾何變換得到拋物線m₁與拋物線m₂的二次項(xiàng)系數(shù)互為相反數(shù)，然后利用頂點(diǎn)式寫出拋物線m₂的解析式，再計(jì)算自變量為﹣3時(shí)的函數(shù)值；

（3）先確定A點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)平移的性質(zhì)得到四邊形AMKC為平行四邊形，根據(jù)菱形的判定方法，當(dāng)CA=CK時(shí)，四邊形AMKC為菱形，接著計(jì)算出AC=，則CK=，然后根據(jù)平移的方向不同得到K點(diǎn)坐標(biāo)．

【解答】解：（1）把（﹣1，0），（1，4），（2，3）分別代入y₁=a₁x²+b₁x+c₁得，

解得．

所以拋物線m₁的解析式為y₁=﹣x²+2x+3=﹣（x﹣1）²+4，則P（1，4），

當(dāng)x=0時(shí)，y=3，則C（0，3）；

（2）因?yàn)閽佄锞�m₁沿x軸翻折，得到拋物線m₂，

所以y₂=（x﹣1）²﹣4，當(dāng)x=﹣3時(shí)，y₂=（x+1）²﹣4=（﹣3﹣1）²﹣4=12．

故答案為（1，4），（0，3），12；

（3）存在．

當(dāng)y₁=0時(shí)，﹣x²+2x+3=0，解得x₁=﹣1，x₂=3，則A（﹣1，0），B（3，0），

∵拋物線m₁沿水平方向平移，得到拋物線m₃，

∴CK∥AM，CK=AM，

∴四邊形AMKC為平行四邊形，

當(dāng)CA=CK時(shí)，四邊形AMKC為菱形，而AC==，則CK=，

當(dāng)拋物線m₁沿水平方向向右平移個(gè)單位，此時(shí)K（，3）；當(dāng)拋物線m₁沿水平方向向左平移個(gè)單位，此時(shí)K（﹣，3）．

【點(diǎn)評】本題考查了二次函數(shù)的綜合題：熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)和菱形的判定；會利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式；會運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法解決問題．