Question

【題目】如圖，菱形的邊長(zhǎng)為1，，點(diǎn)E是邊上任意一點(diǎn)（端點(diǎn)除外），線段的垂直平分線交，分別于點(diǎn)F，G，，的中點(diǎn)分別為M，N．

（1）求證：；

（2）求的最小值；

（3）當(dāng)點(diǎn)E在上運(yùn)動(dòng)時(shí)，的大小是否變化？為什么？

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）；（3）不變，理由見解析.

【解析】

（1）連接CF，根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)和菱形的對(duì)稱性得到CF=EF和CF=AF即可得證；

（2）連接AC，根據(jù)菱形對(duì)稱性得到AF+CF最小值為AC，再根據(jù)中位線的性質(zhì)得到MN+NG的最小值為AC的一半，即可求解；

（3）延長(zhǎng)EF，交DC于H，利用外角的性質(zhì)證明∠AFC=∠FCE+∠FEC+∠FAE+∠FEA，再由AF=CF=EF，得到∠AEF=∠EAF，∠FEC=∠FCE，從而推斷出∠AFD=∠FAE+∠ABF=∠FAE+∠CEF，從而可求出∠ABF=∠CEF=30°，即可證明.

解：（1）連接CF，

∵FG垂直平分CE，

∴CF=EF，

∵四邊形ABCD為菱形，

∴A和C關(guān)于對(duì)角線BD對(duì)稱，

∴CF=AF，

∴AF=EF；

（2）連接AC，

∵M和N分別是AE和EF的中點(diǎn)，點(diǎn)G為CE中點(diǎn)，

∴MN=AF，NG=CF，即MN+NG=（AF+CF），

當(dāng)點(diǎn)F與菱形ABCD對(duì)角線交點(diǎn)O重合時(shí)，

AF+CF最小，即此時(shí)MN+NG最小，

∵菱形ABCD邊長(zhǎng)為1，∠ABC=60°，

∴△ABC為等邊三角形，AC=AB=1，

即MN+NG的最小值為；

（3）不變，理由是：

延長(zhǎng)EF，交DC于H，

∵∠CFH=∠FCE+∠FEC，∠AFH=∠FAE+∠FEA，

∴∠AFC=∠FCE+∠FEC+∠FAE+∠FEA，

∵點(diǎn)F在菱形ABCD對(duì)角線BD上，根據(jù)菱形的對(duì)稱性可得：

∠AFD=∠CFD=∠AFC，

∵AF=CF=EF，

∴∠AEF=∠EAF，∠FEC=∠FCE，

∴∠AFD=∠FAE+∠ABF=∠FAE+∠CEF，

∴∠ABF=∠CEF，

∵∠ABC=60°，

∴∠ABF=∠CEF=30°，為定值.