Question

【題目】AB是的直徑，點(diǎn)C是上一點(diǎn)，連接AC、BC，直線MN過點(diǎn)C，滿足．

（1）如圖①，求證：直線MN是的切線；

（2）如圖②，點(diǎn)D在線段BC上，過點(diǎn)D作于點(diǎn)H，直線DH交于點(diǎn)E、F，連接AF并延長交直線MN于點(diǎn)G，連接CE，且，若的半徑為1，，求的值．

Answer 1

【答案】（1）見解析 （2）

【解析】

（1）由圓周角定理的推論和直角三角形的性質(zhì)可得，由可得，進(jìn)一步即可推出，從而可得結(jié)論；

（2）如圖②，由已知條件易求出AC的長，根據(jù)對頂角相等和圓周角定理可得∠1=∠3，根據(jù)余角的性質(zhì)可得，進(jìn)而可得∽，于是根據(jù)相似三角形的性質(zhì)變形可得，進(jìn)一步即可求出結(jié)果．

解：（1）證明：連接OC，如圖，

∵AB是的直徑，

∴，

∴，

∵，

∴，

∵，

∴，即，

∴MN是的切線；

（2）如圖②，∵，即，∴，

∵∠2=∠3，∠1=∠2，

∴∠1=∠3，

∵，2

∴∠1+∠AGC=90°，

∵∠3+∠ECD=90°，

∴，

又∵，

∴∽，

∴，

∴．