Question

【題目】如圖，在梯形中，，，，．點(diǎn)是線段上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)、分別是線段、上的點(diǎn)，且，聯(lián)結(jié)、．

（1）求證：；

（2）當(dāng)時(shí)，如果是以為腰的等腰三角形，求線段的長(zhǎng)；

（3）當(dāng)時(shí)，求的正切值．（用含的式子表示）

Answer 1

【答案】（1）詳見(jiàn)解析；（2）；（3）

【解析】

（1）先利用兩邊對(duì)應(yīng)成比例，夾角相等，判斷出，得出∠DQE=∠BDC，即可得出結(jié)論；
（2）先用△DEQ∽△BCD，得出比例式表示出EQ，再分兩種情況，建立方程求解，即可得出結(jié)論；
（3）先判得出△PHQ∽△BGD，得出，進(jìn)而表示出，，即可得出結(jié)論．

解：（1）∵，∴．

∵，，∴．

∴．

∴，∴．

（2）設(shè)的長(zhǎng)為，則，．

∵，∴，∴．

（ⅰ）當(dāng)時(shí)，

∴，

∵，∴，∴，

∴，∴，∴，

解得，或（舍去）．

（ⅱ）當(dāng)時(shí)，

∴，解得，

∵，∴此種情況不存在．

∴．

（3）過(guò)點(diǎn)作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)；過(guò)點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)．

∵，，∴，，

∵，∴．

∵，∴．

又∵，

∴．

∴，∴．

∴，．

∴，

∴．