Question

 在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知兩點(diǎn)A(0，3)，B(1，0)，現(xiàn)將線段AB繞點(diǎn)B按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°得到線段BC，拋物線y=ax²+bx+c(a≠0)經(jīng)過點(diǎn)C.

（1）如圖1，若該拋物線經(jīng)過原點(diǎn)O，且.

①求點(diǎn)C的坐標(biāo)及該拋物線的表達(dá)式；

②在拋物線上是否存在點(diǎn)P，使得∠POB=∠BAO. 若存在，請(qǐng)求出所有滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由；

（2）如圖2，若該拋物線y=ax²+bx+c(a≠0)經(jīng)過點(diǎn)D(2，1)，點(diǎn)Q在拋物線上，且滿足∠QOB=∠BAO. 若符合條件的Q點(diǎn)的個(gè)數(shù)是4個(gè)，請(qǐng)直接寫出a的取值范圍.

Answer 1

解：（1）①如圖1，過點(diǎn)C作CD⊥x軸于點(diǎn)D.

             ∴.

             ∵∠ABC=90º，

             ∴.

又∵，

∴.

∵AB=BC，

∴△AOB≌△BDC. 

∴BD=OA，CD=OB.

∵A(0，3)，B(1，0)，

∴C(4，1).    

∵拋物線y=ax²+bx+c經(jīng)過原點(diǎn)O，且，

∴.   

又∵拋物線經(jīng)過點(diǎn)C(4，1)，

∴.

∴該拋物線的表達(dá)式為.    

② 當(dāng)點(diǎn)P在第一象限時(shí)，過點(diǎn)P作PG⊥x軸于點(diǎn)G,連接OP.

∵∠POB=∠BAO，

∴.

設(shè)P(3m，m)，m>0.  

∵點(diǎn)P在上，

∴. 

解得：，(舍去).

∴.

當(dāng)點(diǎn)P在第四象限時(shí)，同理可求得.  

當(dāng)點(diǎn)P在第二、三象限時(shí)，∠POB為鈍角，不符合題意.

綜上所述，在拋物線上存在使得∠POB=∠BAO的點(diǎn)P，點(diǎn)P的坐標(biāo)為或.

（2）的取值范圍為或.