Question

如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以斜邊AB上一點O為圓心，OB為半徑作⊙O，交AC于點E，交AB于點D，且∠BEC=∠BDE．

（1）求證：AC是⊙O的切線；

（2）連接OC交BE于點F，若，求的值．

Answer 1

【考點】切線的判定；相似三角形的判定與性質．

【分析】（1）連接OE，證得OE⊥AC即可確定AC是切線；

（2）根據(jù)OE∥BC，分別得到△AOE∽△ACB和△OEF∽△CBF，利用相似三角形對應邊的比相等找到中間比即可求解．

【解答】解：（1）證明：連接OE，

∵OB=OE，

∴∠OBE=∠OEB，

∵∠ACB=90°，

∴∠CBE+∠BEC=90°，

∵BD為⊙O的直徑，

∴∠BED=90°，

∴∠DBE+∠BDE=90°，

∴∠CBE=∠DBE，

∴∠CBE=∠OEB，

∴OE∥BC，

∴∠OEA=∠ACB=90°，

即OE⊥AC，

∴AC為⊙O的切線；

（2）∵OE∥BC，∴△AOE∽△ABC，

∴，

∵，

∴，

∴，

∵OE∥BC，

∴△OEF∽△CBF，

∴．

【點評】本題考查了切線的性質及判斷，在解決切線問題時，常常連接圓心和切點，證明垂直或根據(jù)切線得到垂直．