Question

如圖，點(diǎn)P是∠AOB內(nèi)任意一點(diǎn)，OP=5cm，點(diǎn)M和點(diǎn)N分別是射線(xiàn)OA和射線(xiàn)OB上的動(dòng)點(diǎn)，PN+PM+MN的最小值是5cm，則∠AOB的度數(shù)是__________．

Answer 1

30°．

【考點(diǎn)】軸對(duì)稱(chēng)-最短路線(xiàn)問(wèn)題．

【分析】分別作點(diǎn)P關(guān)于OA、OB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)C、D，連接CD，分別交OA、OB于點(diǎn)M、N，連接OC、OD、PM、PN、MN，由對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)得出PM=CM，OP=OC，∠COA=∠POA；PN=DN，OP=OD，∠DOB=∠POB，得出∠AOB=∠COD，證出△OCD是等邊三角形，得出∠COD=60°，即可得出結(jié)果．

【解答】解：分別作點(diǎn)P關(guān)于OA、OB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)C、D，連接CD，

分別交OA、OB于點(diǎn)M、N，連接OC、OD、PM、PN、MN，如圖所示：

∵點(diǎn)P關(guān)于OA的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為D，關(guān)于OB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為C，

∴PM=DM，OP=OD，∠DOA=∠POA；

∵點(diǎn)P關(guān)于OB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為C，

∴PN=CN，OP=OC，∠COB=∠POB，

∴OC=OP=OD，∠AOB=∠COD，

∵PN+PM+MN的最小值是5cm，

∴PM+PN+MN=5，

∴DM+CN+MN=5，

即CD=5=OP，

∴OC=OD=CD，

即△OCD是等邊三角形，

∴∠COD=60°，

∴∠AOB=30°．

故答案為：30°．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)、最短路線(xiàn)問(wèn)題、等邊三角形的判定與性質(zhì)；熟練掌握軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)，證明三角形是等邊三角形是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．