Question

【題目】已知拋物線y=ax2﹣8ax+12a（a＜0）與x軸交于A、B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊)，拋物線上另有一點(diǎn)C在第一象限，且使△OCA∽△OBC，

（1）求OC的長(zhǎng)及的值；

（2）設(shè)直線BC與y軸交于P點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)C恰好在OP的垂直平分線上時(shí)，求直線BP和拋物線的解析式．

Answer 1

【答案】（1）2， （2）

【解析】

分析: （1）令拋物線中y=0，可得出A、B的坐標(biāo)，即可確定OA，OB的長(zhǎng)．根據(jù)△OCA∽△OBC，可得出關(guān)于OC、OA、OB的比例關(guān)系式即可求出OC的長(zhǎng)．

（2）利用相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例和勾股定理來(lái)求C點(diǎn)的坐標(biāo)．將C點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線中即可求出拋物線的解析式．

詳解:

（1）由ax2-8ax+12a=0（a＜0）

得x1=2，x2=6．

即：OA=2，OB=6．

∵△OCA∽△OBC，

∴OC2=OAOB=2×6．

∴OC=2（-2舍去）．

∴線段OC的長(zhǎng)為2．

.

（2）由題意得C是BP的中點(diǎn)，

∴OC=BC從而C點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3

又,

∴.

設(shè)直線BP的解析式為y=kx+b，過(guò)點(diǎn)B（6，0），，

則有

∴

∴

又點(diǎn)在拋物線上∴，

∴.

∴拋物線解析式為：．

點(diǎn)睛: 本題考查了二次函數(shù)的知識(shí)，其中涉及了數(shù)形結(jié)合問(wèn)題，由拋物線求二次函數(shù)的解析式，用幾何中相似三角形的性質(zhì)求點(diǎn)的坐標(biāo)等知識(shí)．注意這些知識(shí)的綜合應(yīng)用.