Question

【題目】如圖所示，點(diǎn)坐標(biāo)為，點(diǎn)坐標(biāo)為，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)開(kāi)始沿以每秒個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)移動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)開(kāi)始沿以每秒個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)移動(dòng)．如果、分別從、同時(shí)出發(fā)，用（秒）表示移動(dòng)的時(shí)間，那么：

當(dāng)為何值時(shí)，四邊形是梯形，此時(shí)梯形的面積是多少？

當(dāng)為何值時(shí)，以點(diǎn)、、為頂點(diǎn)的三角形與相似？

若設(shè)四邊形的面積為，試寫(xiě)出與的函數(shù)關(guān)系式，并求出取何值時(shí)，四邊形的面積最��？

在軸上是否存在點(diǎn)，使點(diǎn)、在移動(dòng)過(guò)程中，以、、、為頂點(diǎn)的四邊形的面積是一個(gè)常數(shù)？若存在請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）t=3,27；（2）當(dāng)秒或秒時(shí)，以點(diǎn)、、為頂點(diǎn)的三角形與相似；（3）存在，當(dāng)秒時(shí)，四邊形的面積最��；（4）存在，點(diǎn)的坐標(biāo)為)，理由見(jiàn)解析

【解析】

（1）當(dāng)PQ∥OA，四邊形OPQA是梯形，根據(jù)平行線分線段成比例得到BP：BO=BQ：BA，即（6﹣t）：6=2t：12，即可得到t，利用梯形OPQA的面積=△OAB的面積﹣△PBQ的面積求面積；

（2）討論：當(dāng)∠BPQ=∠BOA，即PQ∥OA，由（1）得t=3；當(dāng)∠BPQ=∠A，則Rt△BPQ∽Rt△BAO，BP：BA=BQ：BO，即（6﹣t）：12=2t：6，即可得到t；

（3）利用y=S△OAB﹣S△BPQ=×6×12﹣×2t×（6﹣t），然后配成頂點(diǎn)式即可得到答案；

（4）利用以B、Q、E、P為頂點(diǎn)的四邊形的面積=梯形BQEO的面積﹣△OPE的面積，用t與m表示出來(lái)為×6×（m+2t）﹣×m×t，變形得到（6﹣m）t+3m，當(dāng)t的系數(shù)為0時(shí)即可得到m的值．

OP=t，PB=6﹣t，BQ=2t．

（1）當(dāng)PQ∥OA，四邊形OPQA是梯形，∴BP：BO=BQ：BA，即（6﹣t）：6=2t：12，∴t=3，∴PB=3，BQ=6，∴梯形OPQA的面積=△OAB的面積﹣△PBQ的面積=×6×12﹣×3×6=27，所以當(dāng)t=3時(shí)，四邊形OPQA是梯形，此時(shí)梯形OPQA的面積為27；

（2）當(dāng)∠BPQ=∠BOA，即PQ∥OA，Rt△BPQ∽Rt△BOA，由（1）得t=3，當(dāng)∠BPQ=∠A，則Rt△BPQ∽Rt△BAO，∴BP：BA=BQ：BO，即（6﹣t）：12=2t：6，∴t=，所以當(dāng)t=秒或3秒時(shí)，以點(diǎn)P、Q、B為頂點(diǎn)的三角形與△AOB相似；

（3）存在．

y=S△OAB﹣S△BPQ=×6×12﹣×2t×（6﹣t）=t2﹣6t+36=（t﹣3）2+27．

∵a=1＞0，∴t=3時(shí)，y有最小值27，所以當(dāng)t=3秒時(shí)，四邊形OPQA的面積最小；

（4）存在．

當(dāng)E在y軸的負(fù)半軸上時(shí)，以B、Q、E、P為頂點(diǎn)不能形成四邊形，則點(diǎn)E在y軸的正半軸上時(shí)，設(shè)E（0，m），所以以B、Q、E、P為頂點(diǎn)的四邊形的面積=梯形BQEO的面積﹣△OPE的面積=×6×（m+2t）﹣×m×t=（6﹣m）t+3m

當(dāng)以B、Q、E、P為頂點(diǎn)的四邊形的面積是一個(gè)常數(shù)，則6﹣m=0，解得：m=12，所以點(diǎn)E的坐標(biāo)為（0，12）．