Question

【題目】如圖，在△ABC中.AB=AC.∠BAC=36°.BD是∠ABC的平分線，交AC于點D，E是AB的中點，連接ED并延長，交BC的延長線于點F，連接AF.求證：(1)EF⊥AB； (2)△ACF為等腰三角形.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析.

【解析】

（1）依據(jù)AB＝AC，∠BAC＝36°，可得∠ABC＝72°，再根據(jù)BD是∠ABC的平分線，即可得到∠ABD＝36°，由∠BAD＝∠ABD，可得AD＝BD，依據(jù)E是AB的中點，即可得到FE⊥AB；

（2）依據(jù)FE⊥AB，AE＝BE，可得FE垂直平分AB，進而得出∠BAF＝∠ABF，依據(jù)∠ABD＝∠BAD，即可得到∠FAD＝∠FBD＝36°，再根據(jù)∠AFC＝∠ACB﹣∠CAF＝36°，可得∠CAF＝∠AFC＝36°，進而得到AC＝CF．

（1）∵AB＝AC，∠BAC＝36°，∴∠ABC=∠ACB =72°．

又∵BD是∠ABC的平分線，∴∠ABD＝∠FBD＝ 36°，∴∠BAD＝∠ABD，∴AD＝BD．

又∵E是AB的中點，∴DE⊥AB，即FE⊥AB；

（2）∵FE⊥AB，AE＝BE，∴FE垂直平分AB，∴AF＝BF，∴∠BAF＝∠ABF．

又∵∠ABD＝∠BAD，∴∠FAD＝∠FBD＝36°．

又∵∠ACB＝72°，∴∠AFC＝∠ACB﹣∠CAF＝36°，∴∠CAF＝∠AFC＝36°，∴AC＝CF，即△ACF為等腰三角形．