Question

（11分）如圖，已知拋物線經(jīng)過A（﹣2，0），B（﹣3，3）及原點(diǎn)O，頂點(diǎn)為C．

（1）求拋物線的函數(shù)解析式．

（2）設(shè)點(diǎn)D在拋物線上，點(diǎn)E在拋物線的對(duì)稱軸上，若四邊形AODE是平行四邊形，求點(diǎn)D的坐標(biāo)．

（3）聯(lián)接BC交x軸于點(diǎn)F．y軸上是否存在點(diǎn)P，使得△POC與△BOF相似？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

（1）y=+2x；（2）D（1,3）；（3）（0，－）或（0，－4）

【解析】

試題分析：（1）將點(diǎn)A、點(diǎn)B和原點(diǎn)代入解析式進(jìn)行求解；（2）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出點(diǎn)D的坐標(biāo)；（3）首先求出OB、OF、OC的長度，然后根據(jù)三角形相似的條件求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，分兩種情況進(jìn)行討論.

試題解析：（1）設(shè)拋物線的解析式為y=ax2+bx+c（a≠0），

將點(diǎn)A（﹣2，0），B（﹣3，3），O（0，0），代入可得：，解得：，

所以函數(shù)解析式為：y=x2+2x；

（2）∵AO為平行四邊形的一邊， ∴DE∥AO，DE=AO， ∵A（﹣2，0），

∴DE=AO=2， ∵四邊形AODE是平行四邊形， ∴D在對(duì)稱軸直線x=﹣1右側(cè)，

∴D橫坐標(biāo)為：﹣1+2=1，代入拋物線解析式得y=3， ∴D的坐標(biāo)為（1，3）；

（3）在y軸上存在點(diǎn)P，使得△POC與△BOF相似，理由如下：

由y=x2+2x，頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為（﹣1，1） ∵tan∠BOF=，

∴∠BOF=45°， 當(dāng)點(diǎn)P在y軸的負(fù)半軸時(shí)，tan∠COP=，

∴∠COP=45°，∴∠BOF=∠COP， 設(shè)BC的解析式為y=kx+b（k≠0），

∵圖象經(jīng)過B（﹣3，3），C（﹣1，1）

∴， 解得∴，

∴y=﹣2x﹣3； 令y=0，則x=﹣1.5．

∴F（﹣1.5，0），

∴OB=3，OF=1.5，OC=，

①當(dāng)△POC∽△FOB時(shí)， 則，

即， ∴OP=， ∴P（0，﹣）

②當(dāng)△POC∽△BOF時(shí)， ∴，

∴OP=4， ∴P（0，﹣4），

∴當(dāng)△POC與△BOF相似時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，﹣）或（0，﹣4）．

考點(diǎn)：待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、三角形相似的判定、平行四邊形的性質(zhì).