Question

已知：如圖，△ABC是⊙O內(nèi)接三角形，OM⊥AB于點(diǎn)M，ON⊥AC于點(diǎn)N，連接MN，

（1）求證：MN=BC；

（2）過(guò)點(diǎn)A作⊙O的直徑AD，連接BD，AG為過(guò)點(diǎn)A的圓切線，過(guò)點(diǎn)M作MG⊥AG，垂足為G，若cos∠BAD=，BD=20，求AG的長(zhǎng)．

　

Answer 1

【考點(diǎn)】切線的性質(zhì)；勾股定理；三角形中位線定理；垂徑定理．

【分析】（1）由垂徑定理和三角形的中位線的性質(zhì)得到結(jié)論．

（2）由AD是⊙O的直徑，得到∠ABD=90°，解直角三角形得到AD，AB的長(zhǎng)度，再由銳角三角函數(shù)解出結(jié)果．

【解答】（1）證明：∵OM⊥AB于點(diǎn)M，ON⊥AC于點(diǎn)N，

∴點(diǎn)M、N分別是AB、AC的中點(diǎn)，MN是三角形ABC的中位線，

∴MN=BC；

 

（2）解：∵AD是⊙O的直徑，

∴∠ABD=90°，

∵cos∠BAD=，BD=20，

∴在直角三角形ABD中，可設(shè)AD=5k，AB=4K，

根據(jù)勾股定理得：（5k）²﹣（4k）²20²，

∴k=（﹣舍去），

∴AD=，AB=，

∵AG是⊙O的切線，

∴OA⊥AG，

又∵M(jìn)G⊥AG，

∴∠GAD=90°=∠MGA，

∴AD∥MG

∴∠AMG=∠BAD

∴sin∠AMG=sin∠BAD===，

∴AG=AM=×AB=8，

∴AG=8．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形的中位線定理，切線的性質(zhì)，垂徑定理，勾股定理，銳角三角函數(shù)，掌握垂徑定理是解題的關(guān)鍵．