如圖,▱ABCD在平面直角坐標(biāo)系中,AD=6,若OA、OB的長是關(guān)于x的一元二次方程x2﹣7x+12=0的兩個根,且OA>OB.
(1)求sin∠ABC的值;
(2)若E為x軸上的點,且S△AOE=,求經(jīng)過D、E兩點的直線的解析式,并判斷△AOE與△DAO是否相似?
(3)若點M在平面直角坐標(biāo)系內(nèi),則在直線AB上是否存在點F,使以A、C、F、M為頂點的四邊形為菱形?若存在,請直接寫出F點的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
考點: 相似三角形的判定;解一元二次方程-因式分解法;待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式;平行四邊形的性質(zhì);菱形的判定.
專題: 壓軸題.
分析: (1)求得一元二次方程的兩個根后,判斷出OA、OB長度,根據(jù)勾股定理求得AB長,那么就能求得sin∠ABC的值.
(2)易得到點D的坐標(biāo)為(6,4),還需求得點E的坐標(biāo),OA之間的距離是一定的,那么點E的坐標(biāo)可能在點O的左邊,也有可能在點O的右邊.根據(jù)所給的面積可求得點E的坐標(biāo),把A、E代入一次函數(shù)解析式即可.然后看所求的兩個三角形的對應(yīng)邊是否成比例,成比例就是相似三角形.
(3)根據(jù)菱形的性質(zhì),分AC與AF是鄰邊并且點F在射線AB上與射線BA上兩種情況,以及AC與AF分別是對角線的情況分別進(jìn)行求解計算.
解答: 解:(1)解x2﹣7x+12=0,得x1=4,x2=3.
∵OA>OB
∴OA=4,OB=3.
在Rt△AOB中,由勾股定理有AB==5,
∴sin∠ABC=.
(2)∵點E在x軸上,S△AOE=,即AO×OE=,
解得OE=.∴E(,0)或E(﹣,0).
由已知可知D(6,4),設(shè)yDE=kx+b,
當(dāng)E(,0)時有,
解得.
∴yDE=x﹣.
同理E(﹣,0)時,yDE=.
在△AOE中,∠AOE=90°,OA=4,OE=;
在△AOD中,∠OAD=90°,OA=4,OD=6;
∵,
∴△AOE∽△DAO.
(3)根據(jù)計算的數(shù)據(jù),OB=OC=3,
∴AO平分∠BAC,
①AC、AF是鄰邊,點F在射線AB上時,AF=AC=5,
所以點F與B重合,
即F(﹣3,0),
②AC、AF是鄰邊,點F在射線BA上時,M應(yīng)在直線AD上,且FC垂直平分AM,
點F(3,8).
③AC是對角線時,做AC垂直平分線L,AC解析式為y=﹣x+4,直線L過(,2),且k值為(平面內(nèi)互相垂直的兩條直線k值乘積為﹣1),
L解析式為y=x+,聯(lián)立直線L與直線AB求交點,
∴F(﹣,﹣),
④AF是對角線時,過C做AB垂線,垂足為N,根據(jù)等積法求出CN=,勾股定理得出,AN=,做A關(guān)于N的對稱點即為F,AF=,過F做y軸垂線,垂足為G,F(xiàn)G=×=,
∴F(﹣,).
綜上所述,滿足條件的點有四個:F1(3,8);F2(﹣3,0);
F3(﹣,﹣);F4(﹣,).
點評: 一個角的正弦值等于這個角的對邊與斜邊之比;相似三角形對應(yīng)邊成比例;給定兩個點作為菱形的頂點,那么這兩個點可能是菱形的對角所在的頂點,也可能是鄰角所在的頂點.
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
如圖,矩形ABCD中,E為BC上一點,DF⊥AE于F.
(1)△ABE與△ADF相似嗎?請說明理由.
(2)若AB=6,AD=12,BE=8,求DF的長.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
小明想測量一棵樹的高度,他發(fā)現(xiàn)樹的影子恰好落在地面和一斜坡上,如圖,此時測得地面上的影長為8米,坡面上的影長為4米.已知斜坡的坡角為30°,同一時刻,一根長為1米、垂直于地面放置的標(biāo)桿在地面上的影長為2米,則樹的高度為( )
A. ()米 B. 12米 C. ()米 D. 10米
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
如圖,△ABC是一塊銳角三角形的材料,邊BC=120mm,高AD=80mm,要把它加工成正方形零件,使正方形的一邊在BC上,其余兩個頂點分別在AB、AC上,這個正方形零件的邊長是多少mm.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
在一個不透明的口袋中,裝有n個除顏色不同其余都相同的球,如果口袋中裝有4個紅球且摸到紅球的概率為,那么n等于( 。
A. 10個 B. 12個 C. 16個 D. 20個
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
一圓錐體形狀的水晶飾品,母線長是10cm,底面圓的直徑是5cm,點A為圓錐底面圓周上一點,從A點開始繞圓錐側(cè)面纏一圈彩帶回到A點,則彩帶最少用多少厘米(接口處重合部分忽略不計)( 。
A. 10πcm B. 10cm C. 5πcm D. 5cm
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
已知反比例函數(shù)的圖象與一次函數(shù)y=k2x+m的圖象交于A(﹣1,a)、B(,﹣3)兩點,連結(jié)AO.
(1)求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的表達(dá)式;
(2)設(shè)點C在y軸上,且與點A、O構(gòu)成等腰三角形,請直接寫出點C的坐標(biāo).
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