Question

如圖，▱ABCD在平面直角坐標(biāo)系中，AD=6，若OA、OB的長是關(guān)于x的一元二次方程x²﹣7x+12=0的兩個根，且OA＞OB．

（1）求sin∠ABC的值；

（2）若E為x軸上的點，且S_△AOE=，求經(jīng)過D、E兩點的直線的解析式，并判斷△AOE與△DAO是否相似？

（3）若點M在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，則在直線AB上是否存在點F，使以A、C、F、M為頂點的四邊形為菱形？若存在，請直接寫出F點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點： 相似三角形的判定；解一元二次方程-因式分解法；待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式；平行四邊形的性質(zhì)；菱形的判定． 

專題： 壓軸題．

分析： （1）求得一元二次方程的兩個根后，判斷出OA、OB長度，根據(jù)勾股定理求得AB長，那么就能求得sin∠ABC的值．

（2）易得到點D的坐標(biāo)為（6，4），還需求得點E的坐標(biāo)，OA之間的距離是一定的，那么點E的坐標(biāo)可能在點O的左邊，也有可能在點O的右邊．根據(jù)所給的面積可求得點E的坐標(biāo)，把A、E代入一次函數(shù)解析式即可．然后看所求的兩個三角形的對應(yīng)邊是否成比例，成比例就是相似三角形．

（3）根據(jù)菱形的性質(zhì)，分AC與AF是鄰邊并且點F在射線AB上與射線BA上兩種情況，以及AC與AF分別是對角線的情況分別進(jìn)行求解計算．

解答： 解：（1）解x²﹣7x+12=0，得x₁=4，x₂=3．

∵OA＞OB

∴OA=4，OB=3．

在Rt△AOB中，由勾股定理有AB==5，

∴sin∠ABC=．

 

（2）∵點E在x軸上，S_△AOE=，即AO×OE=，

解得OE=．∴E（，0）或E（﹣，0）．

由已知可知D（6，4），設(shè)y_DE=kx+b，

當(dāng)E（，0）時有，

解得．

∴y_DE=x﹣．

同理E（﹣，0）時，y_DE=．

在△AOE中，∠AOE=90°，OA=4，OE=；

在△AOD中，∠OAD=90°，OA=4，OD=6；

∵，

∴△AOE∽△DAO．

 

（3）根據(jù)計算的數(shù)據(jù)，OB=OC=3，

∴AO平分∠BAC，

①AC、AF是鄰邊，點F在射線AB上時，AF=AC=5，

所以點F與B重合，

即F（﹣3，0），

②AC、AF是鄰邊，點F在射線BA上時，M應(yīng)在直線AD上，且FC垂直平分AM，

點F（3，8）．

③AC是對角線時，做AC垂直平分線L，AC解析式為y=﹣x+4，直線L過（，2），且k值為（平面內(nèi)互相垂直的兩條直線k值乘積為﹣1），

L解析式為y=x+，聯(lián)立直線L與直線AB求交點，

∴F（﹣，﹣），

④AF是對角線時，過C做AB垂線，垂足為N，根據(jù)等積法求出CN=，勾股定理得出，AN=，做A關(guān)于N的對稱點即為F，AF=，過F做y軸垂線，垂足為G，F(xiàn)G=×=，

∴F（﹣，）．

綜上所述，滿足條件的點有四個：F₁（3，8）；F₂（﹣3，0）；

F₃（﹣，﹣）；F₄（﹣，）．

點評： 一個角的正弦值等于這個角的對邊與斜邊之比；相似三角形對應(yīng)邊成比例；給定兩個點作為菱形的頂點，那么這兩個點可能是菱形的對角所在的頂點，也可能是鄰角所在的頂點．