Question

把兩塊全等的直角三角形ABC和DEF疊放在一起，使三角板DEF的銳角頂點D與三角板ABC的斜邊中點O重合，其中∠ABC=∠DEF=90°，∠C=∠F=45°，AB=DE=4，把三角板ABC固定不動，讓三角板DEF繞點D旋轉(zhuǎn)，設(shè)射線DE與射線AB相交于點P，射線DF與線段BC相交于點Q．

（1）如圖（1），當射線DF經(jīng)過點B，即點Q與點B重合時，易證△APD∽△CDQ．此時，AP·CQ=        ．

（2）將三角板DEF由圖（1）所示的位置繞點O沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)，設(shè)旋轉(zhuǎn)角為α．其中0°＜α＜90°，問AP·CQ的值是否改變？說明你的理由．

（3）在（2）的條件下，設(shè)CQ=x，兩塊三角板重疊面積為y，求y與x的函數(shù)關(guān)系式．（圖（2），圖（3）供解題用）

Answer 1

解：（1）∵∠A=∠C=45°，∠APD=∠QDC=90°，∴△APD∽△CDQ．

∴AP：CD=AD：CQ．∴即AP×CQ=AD×CD，∵AB=BC=4，∴斜邊中點為O，∴AP=PD=2，∴AP×CQ=2×4=8；

（2）AP•CQ的值不會改變．理由如下：∵在△APD與△CDQ中，∠A=∠C=45°，∠APD=180°-45°-（45°+α）=90°-α，∠CDQ=90°-α

∴∠APD=∠CDQ．∴△APD∽△CDQ．∴

∴AP•CQ=AD•CD=AD²=（AC）²=8．

（3）情形1：當0°＜α＜45°時，2＜CQ＜4，即2＜x＜4，
此時兩三角板重疊部分為四邊形DPBQ，過D作DG⊥AP于G，DN⊥BC于N，∴DG=DN=2由（2）知：AP•CQ=8得AP=

于是y=AB•BC-CQ•DN-AP•DG=8-x-（2＜x＜4）
情形2：當45°≤α＜90°時，0＜CQ≤2時，即0＜x≤2，此時兩三角板重疊部分為△DMQ，由于AP=，PB=-4，易證：△PBM∽△DNM，

∴   即     解得BM=．

∴MQ=4-BM-CQ=4-x-．于是y=MQ•DN=4-x-（0＜x≤2）．
綜上所述，當2＜x＜4時，y=8-x-．

當0＜x≤2時，y=4-x-