Question

綜合與探究：如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝－x²＋2x＋3與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)D是該拋物線的頂點(diǎn)．

(1)求直線AC的解析式及B、D兩點(diǎn)的坐標(biāo)；

(2)點(diǎn)P是x軸上一個(gè)動點(diǎn)，過P作直線l∥AC交拋物線于點(diǎn)Q.試探究：隨著P點(diǎn)的運(yùn)動，在拋物線上是否存在點(diǎn)Q，使以點(diǎn)A、P、Q、C為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，若存在，請直接寫出符合條件的點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；

(3)請?jiān)谥本�AC上找一點(diǎn)M，使△BDM的周長最小，求出M點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

 解：(1)當(dāng)y＝0時(shí)，－x²＋2x＋3＝0，解得x₁＝－1，x₂＝3.

∵點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)，∴A、B的坐標(biāo)分別是(－1，0)、(3，0)．(2分)

當(dāng)x＝0時(shí)，y＝3，∴C點(diǎn)的坐標(biāo)為(0，3)．

設(shè)直線AC的解析式為y＝k₁x＋b₁(k₁≠0)，則

解得∴直線AC的解析式為y＝3x＋3，(4分)

∵y＝－x²＋2x＋3＝－(x－1)²＋4，

∴頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為(1，4)．(6分)

(2)拋物線上有三個(gè)這樣的點(diǎn)Q，分別為Q₁(2，3)，Q₂(1＋，－3)，Q₃(1－，－3)．(9分)

(3)過點(diǎn)B作BB′⊥AC于點(diǎn)F，使B′F＝BF，則B為點(diǎn)B關(guān)于直線AC的對稱點(diǎn)，連接BD交直線于AC于點(diǎn)M，則點(diǎn)M為所求．

過點(diǎn)B′作B′E⊥x軸于點(diǎn)E.(10分)

∵∠1和∠2都是∠3的余角，

∴∠1＝∠2.

Rt△AOC∽Rt△AFB，

∴＝，

由A(－1，0)，B(3，0)，C(0，3)得

OA＝1，OB＝3，

∴AC＝，AB＝4，

∴＝，∴BF＝，

∴BB′＝2BF＝.由∠1＝∠2可得Rt△AOC∽Rt△B′EB，

∴B′點(diǎn)的坐標(biāo)為

設(shè)直線B′D的解析式為y＝k₂x＋b₂(k₂≠0)

∴　解得∴y＝x＋.

由　解得∴M點(diǎn)的坐標(biāo)為