Question

如圖，拋物線y=x²+mx+n與直線y=﹣x+3交于A，B兩點，交x軸與D，C兩點，連接AC，BC，已知A（0，3），C（3，0）．

（Ⅰ）求拋物線的解析式和tan∠BAC的值；

（Ⅱ）在（Ⅰ）條件下：

（1）P為y軸右側(cè)拋物線上一動點，連接PA，過點P作PQ⊥PA交y軸于點Q，問：是否存在點P使得以A，P，Q為頂點的三角形與△ACB相似？若存在，請求出所有符合條件的點P的坐標；若不存在，請說明理由．

（2）設E為線段AC上一點（不含端點），連接DE，一動點M從點D出發(fā)，沿線段DE以每秒一個單位速度運動到E點，再沿線段EA以每秒個單位的速度運動到A后停止，當點E的坐標是多少時，點M在整個運動中用時最少？

Answer 1

解：（Ⅰ）把A（0，3），C（3，0）代入y=x²+mx+n，得：，

解得：．∴拋物線的解析式為y=x²﹣x+3．聯(lián)立，

解得：或，∴點B的坐標為（4，1）．過點B作BH⊥x軸于H，如圖1．

∵C（3，0），B（4，1），∴BH=1，OC=3，OH=4，CH=4﹣3=1，∴BH=CH=1．

∵∠BHC=90°，∴∠BCH=45°，BC=．同理：∠ACO=45°，AC=3，

∴∠ACB=180°﹣45°﹣45°=90°，∴tan∠BAC===；

（Ⅱ）（1）存在點P，使得以A，P，Q為頂點的三角形與△ACB相似．過點P作PG⊥y軸于G，則∠PGA=90°．設點P的橫坐標為x，由P在y軸右側(cè)可得x＞0，則PG=x．∵PQ⊥PA，∠ACB=90°，∴∠APQ=∠ACB=90°．若點G在點A的下方，

    

①如圖2①，當∠PAQ=∠CAB時，則△PAQ∽△CAB．

∵∠PGA=∠ACB=90°，∠PAQ=∠CAB，∴△PGA∽△BCA，∴==．

∴AG=3PG=3x．則P（x，3﹣3x）．

把P（x，3﹣3x）代入y=x²﹣x+3，得：x²﹣x+3=3﹣3x，整理得：x²+x=0

解得：x₁=0（舍去），x₂=﹣1（舍去）．

②如圖2②，當∠PAQ=∠CBA時，則△PAQ∽△CBA．同理可得：AG=PG=x，則P（x，3﹣x），把P（x，3﹣x）代入y=x²﹣x+3，得：x²﹣x+3=3﹣x，

整理得：x²﹣x=0，解得：x₁=0（舍去），x₂=，∴P（，）；

若點G在點A的上方，①當∠PAQ=∠CAB時，則△PAQ∽△CAB，同理可得：點P的坐標為（11，36）．

②當∠PAQ=∠CBA時，則△PAQ∽△CBA．同理可得：點P的坐標為P（，）．

綜上所述：滿足條件的點P的坐標為（11，36）、（，）、（，）；

（2）過點E作EN⊥y軸于N，如圖3．在Rt△ANE中，EN=AE•sin45°=AE，即AE=EN，

∴點M在整個運動中所用的時間為+=DE+EN．作點D關(guān)于AC的對稱點D′，連接D′E，

則有D′E=DE，D′C=DC，∠D′CA=∠DCA=45°，∴∠D′CD=90°，DE+EN=D′E+EN．

根據(jù)兩點之間線段最短可得：當D′、E、N三點共線時，DE+EN=D′E+EN最�。�

此時，∵∠D′CD=∠D′NO=∠NOC=90°，∴四邊形OCD′N是矩形，∴ND′=OC=3，ON=D′C=DC．對于y=x²﹣x+3，當y=0時，有x²﹣x+3=0，解得：x₁=2，x₂=3．

∴D（2，0），OD=2，∴ON=DC=OC﹣OD=3﹣2=1，∴NE=AN=AO﹣ON=3﹣1=2，

∴點E的坐標為（2，1）．