Question

【題目】如圖，C為圓O上一動點(diǎn)（不與點(diǎn)B重合），點(diǎn)T為圓O上一動點(diǎn)，且∠BOT＝60°，將BC繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到BD，連接TD，當(dāng)TD最大時(shí)，∠BDT的度數(shù)為_____．

Answer 1

【答案】7.5°

【解析】

作與圓O半徑相等的圓E，圓E與圓O的直徑AB相切與點(diǎn)B，連接TE并延長交圓E于點(diǎn)D，連接BD，作BC⊥BD，交圓O于點(diǎn)C，則BE⊥AB，在圓E上取一點(diǎn)F，連接TF、EF，則TE+EF＞TF，由DE＝EF，得出TD＞TF，此時(shí)TD最大，易證△OBT是等邊三角形，得出∠OBT＝60°，BT＝OB＝BE，求出∠EBT＝90°+60°＝150°，∠BET＝（180°﹣150°）＝15°，∠EDB＝∠BET＝7.5°，即可得出結(jié)果．

解：作與圓O半徑相等的圓E，圓E與圓O的直徑AB相切與點(diǎn)B，連接TE并延長交圓E于點(diǎn)D，連接BD，作BC⊥BD，交圓O于點(diǎn)C，如圖所示：

則BE⊥AB，

在圓E上取一點(diǎn)F，連接TF、EF，則TE+EF＞TF，

∵DE＝EF，

∴TD＞TF，

∴此時(shí)TD最大，

∵OB＝OT，∠BOT＝60°，

∴△OBT是等邊三角形，

∴∠OBT＝60°，BT＝OB＝BE，

∴∠BET＝∠BTE，

∵BE⊥AB，

∴∠EBT＝90°+60°＝150°，

∴∠BET＝（180°﹣150°）＝15°，

∵ED＝EB，

∴∠EDB＝∠EBD，

∴∠EDB＝∠BET＝×15°＝7.5°，

即∠BDT的度數(shù)為7.5°，

故答案為：7.5°．