Question

2．如圖，墻面OC與地面OD垂直，一架梯子AB長(zhǎng)5米，開始時(shí)梯子緊貼墻面，梯子頂端A沿墻面勻速每分鐘向下滑動(dòng)1米，x分鐘后點(diǎn)A滑動(dòng)到點(diǎn)A′，梯子底端B沿地面向左滑動(dòng)到點(diǎn)B′，OB′=y米，滑動(dòng)時(shí)梯子長(zhǎng)度保持不變．
（1）當(dāng)x=1時(shí)，y=3米；
（2）求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍；
（3）研究（2）中函數(shù)圖象及其性質(zhì)．
①填寫下表，并在所給的坐標(biāo)系中畫出函數(shù)圖象；
②如果點(diǎn)P（x，y）在（2）中的函數(shù)圖象上，求證：點(diǎn)P到點(diǎn)Q（5，0）的距離是定值；
（4）梯子底端B沿地面向左滑動(dòng)的速度是C
A．勻速   B．加速   C．減速  D．先減速后加速．

Answer 1

分析 （1）在Rt△A′OB′中，根據(jù)勾股定理求出OB′即可．
（2）在Rt△A′OB′中，根據(jù)勾股定理即可解決問題，再根據(jù)題意寫出自變量的取值范圍．
（3）①先列表，再畫出圖象即可．②利用兩點(diǎn)間距離公式即可解決問題．
（4）如圖2中，在半徑OQ上取AB=BC，過A、B、C作x軸的垂線交圓弧于D、E、F，作DM⊥BE，EN⊥CF，延長(zhǎng)DE交CF于G，只要證明EM＞FN即可解決問題．

解答 解：（1）x=1時(shí)，A′B=5-1=4，A′B′=5，
∵∠O=90°，
∴y=OB′=$\sqrt{A′B{′}^{2}-A′{O}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}-{4}^{2}}$=3．
故答案為3．

（2）y=$\sqrt{{5}^{2}-（5-x）^{2}}$=$\sqrt{10x-{x}^{2}}$，（0≤x≤5）．

（3）①填表：

②圖象如圖所示：

∵y=$\sqrt{{5}^{2}-（5-x）^{2}}$，
∴y²+（5-x）²=5²，
即PQ²=PR²+RQ²=25，
∴PQ=5，
∴P到點(diǎn)Q（5，0）的距離是定值

（4）與（3）可知，函數(shù)圖象是以Q為圓心的圓弧，
如圖2中，在半徑OQ上取AB=BC，過A、B、C作x軸的垂線交圓弧于D、E、F，作DM⊥BE，EN⊥CF，延長(zhǎng)DE交CF于G．那么GN=EM，

∵GN＞FN，
∴EM＞FN，
即點(diǎn)A移動(dòng)的距離大于點(diǎn)B移動(dòng)的距離，
∴是減速，
故選C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查圓的綜合題、勾股定理，列表法畫函數(shù)圖象等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)構(gòu)建函數(shù)解決問題，學(xué)會(huì)畫好圖象，利用圖象思考問題，屬于中考?jí)狠S題．